브라베 격자

기하학과 결정학에서 브라베 격자(Bravais lattice)란 주기성과 규칙성과 반복성을 가진 격자다. 각 격자점은 모두 같은 주위환경을 갖고 있어 어느 격자점을 중심으로 보든 똑같은 모양이 나타난다. 각 격자점에 하나 이상의 원자가 대응되어 주기성과 규칙성과 반복성을 가질 때 그것을 결정이라고 한다.

2차원 브라베 격자는 모두 5가지가 있다. 3차원 브라베 격자는 모두 14가지가 있다.

역사

프랑스의 오귀스트 브라베(Auguste Bravais)가 1850년에 연구하였다.

낮은 차원에서의 브라베 격자

0차원과 1차원에서는 각각 하나의 브라베 격자가 존재한다. 2차원에는 모두 5개의 브라베 격자가 있다. 다음과 같다.

1. 이사정계(oblique)
2. 직방정계(rectangular)
3. 사방정계(rhombic)
4. 육방정계(hexagonal)
5. 정사각정계(square)

3차원 브라베 격자

3차원에는 모두 14개의 브라베 격자가 있다. 이들은 7가지의 결정계에 격자점을 추가하여 분류할 수 있다.

lattice centering에는 다음과 같은 종류가 있다.

• 단순(또는 원시) 격자 (Primitive centering, P): 격자점은 각 단위 격자의 꼭짓점에만 위치한다.
• 체심 (Body centered, I): 단위 격자의 중심에 하나의 격자점이 더 있다.
• 면심 (Face centered, F): 단위 격자를 이루는 각 면의 중심에 격자점이 하나씩 더 있다.
• 저심 (A, B or C centering): 마주보는 2개의 면의 중심에만 격자점이 하나씩 더 있다. A축에 수직한 면의 중심에 격자점이 있는경우 A centering 이라 하고, B축에 수직한 면에 있는 경우 B centering 이라고 하고 C축에 수직한 면의 중심에 격자점이 있는경우 C centering이라 한다.

lattice centering에는 위와같이 모두 6개의 종류가 있으므로 7 결정계와 조합하면 모두 42개의 브라베 격자가 된다. 그러나 어떤 격자들은 서로 똑같은 모양을 나타내므로 42개보다 적은 수의 브라베 격자로 가능한 모든 격자를 표현할 수 있다. 예를 들어 단사정계의 체심 격자는 역시 단사정계의 저심 격자로 나타낼 수 있다. 비슷하게 A, B centering은 모두 C centering이나 체심(Body centered)으로 나타낼 수 있으므로 브라베 격자에 A, B centered 격자는 존재하지 않는다. 같은 모양을 갖는 격자를 제외한 브라베 격자는 모두 14가지이다.

Crystal system	브라베 격자
삼사정계	P
단사정계	P	C
사방정계	P	C	I	F
정방정계	P	I
삼방정계	P
육방정계	P
입방정계	P	I	F

단위 격자의 부피는 격자벡터 ${\underline {a}},{\underline {b}}$, and ${\underline {c}}$ 로 표현이 가능하다. 각 브라베 격자의 단위 격자 부피는 다음과 같다.

결정계	부피
삼사정계	$abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$
단사정계	$abc\sin \beta$
사방정계	$abc$
정방정계	$a^{2}c$
삼방정계	$a^{3}{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$
육방정계	${\frac {{\sqrt {3\,}}\,a^{2}c}{2}}$
입방정계	$a^{3}$

면간 거리

(hkl)군의 인접한 면 사이의 거리인 d의 값은 다음 식을 통해 알 수 있다.

결정계	부피
삼사정계	${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {1}{V}}(S_{11}h^{2}+S_{22}k^{2}+S_{33}l^{2}+2S_{12}hk+2S_{23}kl+2S_{13}hl)$
단사정계	${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}({\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {k^{2}\sin ^{2}\beta }{b^{2}}}+{\frac {l^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2hl\cos \beta }{ac}})$
사방정계	${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {k^{2}}{b^{2}}}+{\frac {l^{2}}{c^{2}}}$
정방정계	${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}+k^{2}}{a^{2}}}+{\frac {l^{2}}{c^{2}}}$
삼방정계	${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {(h^{2}+k^{2}+l^{)}\sin ^{2}\alpha +2(hk+kl+hl)(\cos ^{2}\alpha -\cos \alpha )}{a^{2}(1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha )}}$
육방정계	${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {4}{3}}({\frac {h^{2}+hk+k^{2}}{a^{2}}})+{\frac {l^{2}}{c^{2}}}$
입방정계	${\frac {1}{d^{2}}}={\frac {h^{2}+k^{2}+l^{2}}{a^{2}}}$

같이 보기

• 결정계
• 공간군