비가환 원환면

비가환 기하학에서 비가환 원환면(非可換圓環面, 영어: noncommutative torus)은 C* 대수의 하나다. (가환) 원환면 위에 존재하는 연속 함수들의 C* 대수를 일반화한 것이다.

정의

추상적 정의

단위원을 갖는 복소수 C* 대수의 범주에서 집합으로 가는 망각 함자를 생각하자.

$U\colon \operatorname {C*Alg} \to \operatorname {Set}$

이는 왼쪽 수반 함자

$F\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {C*Alg}$

를 가지며, 이를 통해 자유 C* 대수를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이를 포함하는 C*-아이디얼을 정의할 수 있으며, 이에 대한 몫은 주어진 생성원과 관계로 생성되는 자유 C* 대수이다.

이제, $n$개의 생성원 $U_{1},\dotsc ,U_{n}$으로 생성되는 자유 C* 대수 $A_{n}$을 생각하자. 반대칭 $n\times n$ 실수 행렬

$\theta \in {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )$

가 주어졌을 때, 다음과 같은 원소로 정의되는 C* 아이디얼 ${\mathfrak {I}}_{\theta }$를 생각하자.

$U_{i}V_{j}=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta _{ij})U_{j}V_{i}$

이에 대한 몫인 C* 대수

$A_{n,\theta }=A_{n}/{\mathfrak {I}}_{\theta }$

를 $\theta$로 정의되는 $n$차원 비가환 원환면(영어: $n$-dimensional noncommutative torus defined by $\theta$)이라고 한다.

만약 $\theta =0$일 경우, 이는 가환 C* 대수이며, 이는 $n$차원 원환면 위의 복소수 값 연속 함수의 C* 대수와 동형이다. 원환면의 좌표가

$\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}=\{(x_{1}+\mathbb {Z} ,\dotsc ,x_{n}+\mathbb {Z} )\colon x_{1},\dotsc ,x_{n}\in \mathbb {R} \}$

일 경우 이 대응은 다음과 같이 고를 수 있다.

$A_{n,0}\mapsto {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {T} ^{n},\mathbb {C} )$

$U_{i}\mapsto \exp(2\pi \mathrm {i} x_{i})$

기하학적 정의

무리수 $\theta \in \mathbb {R}$가 주어졌다고 하자. 이제, 원 $\mathbb {S} ^{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$ 위의 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 르베그 공간

$\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )$

를 생각하자. 그 위의 다음과 같은 두 유계 작용소를 정의할 수 있다.

$U\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )$

$V\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )$

$Uf(z)=zf(z)$

$Vf(z)=f(\exp(-2\pi \mathrm {i} \theta )z)$

즉, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

$UV=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta )VU$

그렇다면, 유계 작용소의 C* 대수 $\operatorname {B} (\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} ))$ 속에서, $U$와 $V$로 생성되는 부분 C* 대수를 생각할 수 있다. 이는 사실 관계 $UV=\exp(2\pi \mathrm {i} \theta )VU$에 의하여 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 C* 대수이다. 이를 2차원 비가환 원환면 $\mathbb {T} _{\theta }^{2}$라고 한다.

성질

두 비가환 원환면 $\mathbb {T} _{\theta }^{2}$와 $\mathbb {T} _{\theta '}^{2}$는 다음과 같을 경우 서로 동형(isomorphic)이다.

$\theta +\theta '\in \mathbb {Z}$ 또는 $\theta -\theta '\in \mathbb {Z}$

두 비가환 원환면 $\mathbb {T} _{\theta }$와 $\mathbb {T} _{\theta '}$는 다음과 같을 경우 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다.

$\theta '={\frac {a\theta +b}{c\theta +d}}$

여기서

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$

이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ)를 따른다. 이는 M이론으로 설명할 수 있다.

외부 링크

• Landi, Giovanni (2007). “The noncommutative torus” (PDF) (영어). 2019년 5월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 5월 10일에 확인함.