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수학에서, 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 , 로 주어진다. 기호는 또는 .

정의편집

모듈러 군  는 다음과 같은 표시를 갖는 군이다.

 

즉, 이는 2차 순환군과 3차 순환군자유곱이다.

 

성질편집

모듈러 군은 가산 무한 개의 원소를 가지는 군이며, 아벨 군이 아니다. 그 중심자명군이다.

상반평면 위의 작용편집

모듈러 군은 상반평면  유리 함수작용한다. 이 경우 생성원  ,  의 작용은 다음과 같다.

 
 

따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다.

 . ( )

이 경우 행렬  의 작용이 같으므로, 이는  의 작용임을 알 수 있다.

모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역(영어: fundamental domain)은 다음과 같다.

 

보다 일반적으로, 이 작용은 리만 구의 반구

 

위로 확장될 수 있다. 이 경우, 이는 실수 사영 직선   위에 다음과 같이 따로 작용한다. 사실, 이 작용은 대수적 수의 집합(+∞) 또는 유리수체(+∞)로 제한될 수 있다. 즉, 모듈러 군은 다음과 같은 부분 집합 위에 각각 작용한다.

  •   (허수 성분이 양수인 복소수)
  •   (초월수)
  •   (대수적 무리수)
  •   (유리수 및 무한대)

유리수체 위의 작용편집

모듈러 군은 유리수 사영 직선   위에 작용한다. 구체적으로, 다음과 같은 집합을 생각하자.

 

그렇다면, 그 위에  의 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.

 

이 경우, 위 행렬이 특수 선형군에 속하므로 그 행렬식이 1이다. 즉,  다. 따라서,  일 때

 

이게 된다. 이 작용은 추이적 작용이다. 즉, 임의의  에 대하여, 항상   이 존재한다.

이제, 다음과 같은 전사 함수를 생각하자.

 
 
 

즉,  를 약분 불가능 분수  로 간주하자. 물론  이므로, 이는  몫군  의, 유리수 사영 직선 위의 작용을 정의한다. 이 작용 역시 따라서 추이적 작용이다.

이 작용 아래   의 작용은 다음과 같다.

 
 

이 작용은 모듈러 군의, 복소수 상반평면 위의 작용을 유리수로 제한한 것이다.

꼬임군과의 관계편집

모듈러 군의 보편 중심 확대는 3차 꼬임군  이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

 

여기서  2차원 실수 특수선형군범피복군이며,  무한 순환군(정수의 덧셈군)이다.

합동 부분군편집

모듈러 군은 합동 부분군(영어: congruence subgroup)이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, 합동 부분군은 (아래에 정의된)  을 부분군으로 가지는  의 부분군  이다. 이 경우, 이러한 최소  을 합동 부분군  준위(영어: level 레벨[*], 독일어: Stufe 슈튜페[*])라고 한다.

흔히 쓰이는 합동 부분군으로는  ,  ,  이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다.

 

모듈러 군 Γ(N)편집

모듈러 군  주합동 부분군(主合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라는 중요한 부분군들을 가진다.  가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를  에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

 

군 준동형레벨 N의 주합동 부분군  이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다.

 

구체적으로,  은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬

 

에 대하여,

 
 

특히,  Λ 모듈러 군(영어: modular group Λ)라고 불린다. 이 경우  은 3차 순환군이므로 크기가 6이다. 즉,  지표가 6인 부분군이다.

모듈러 군 Γ1(N)편집

모듈러 군 Γ1(N) 의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다.

행렬

 

에 대하여,

 
 

모듈러 군 Γ0(N)편집

모듈러 군 Γ0(N) 의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

 

에 대하여,

 

즉, 위와 같이  와 같은 군 준동형에서, 상삼각행렬인 원소들이다.   의 부분군이다.

참고 문헌편집

외부 링크편집

같이 보기편집