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비가환 원환면

비가환 기하학에서, 비가환 원환면(非可換圓環面, 영어: noncommutative torus)은 C* 대수의 하나다. (가환) 원환면 위에 존재하는 연속 함수들의 C* 대수를 일반화한 것이다.[1][2]

정의편집

추상적 정의편집

단위원을 갖는 복소수 C* 대수의 범주에서 집합으로 가는 망각 함자를 생각하자.

 

이는 왼쪽 수반 함자

 

를 가지며, 이를 통해 자유 C* 대수를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 부분 집합이 주어졌을 때, 이를 포함하는 C*-아이디얼을 정의할 수 있으며, 이에 대한 몫은 주어진 생성원과 관계로 생성되는 자유 C* 대수이다.

이제,  개의 생성원  으로 생성되는 자유 C* 대수  을 생각하자. 반대칭   실수 행렬

 

가 주어졌을 때, 다음과 같은 원소로 정의되는 C* 아이디얼  를 생각하자.

 

이에 대한 몫인 C* 대수

 

 로 정의되는  차원 비가환 원환면(영어:  -dimensional noncommutative torus defined by  )이라고 한다.

만약  일 경우, 이는 가환 C* 대수이며, 이는  차원 원환면 위의 복소수 값 연속 함수C* 대수와 동형이다. 원환면의 좌표가

 

일 경우 이 대응은 다음과 같이 고를 수 있다.

 
 

기하학적 정의편집

무리수  가 주어졌다고 하자. 이제, 원   위의 복소수 값 제곱 적분 가능 함수르베그 공간

 

를 생각하자. 그 위의 다음과 같은 두 유계 작용소를 정의할 수 있다.

 
 
 
 

즉, 이들은 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

 

그렇다면, 유계 작용소C* 대수   속에서,   로 생성되는 부분 C* 대수를 생각할 수 있다. 이는 사실 관계  에 의하여 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 C* 대수이다. 이를 2차원 비가환 원환면  라고 한다.

성질편집

두 비가환 원환면   는 다음과 같을 경우 서로 동형(isomorphic)이다.

  또는  

두 비가환 원환면   는 다음과 같을 경우 서로 강하게 모리타 동치(strongly Morita equivalent)이다.[3][4]

 

여기서

 

이다. 즉, 비가환 원환면의 모리타 동치는 모듈러 군 SL(2,ℤ‎)를 따른다. 이는 M이론으로 설명할 수 있다.[5]

참고 문헌편집

  1. Rieffel, Marc A. (1990). 〈Non-commutative tori — a case study of non-commutative differentiable manifolds〉 (PDF). 《Geometric and Topological Invariants of Elliptic Operators》 (영어). Contemporary Mathematics 105. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 191–211쪽. doi:10.1090/conm/105/1047281. ISBN 978-0-8218-5112-8. MR 1047281. Zbl 0713.46046. 
  2. Plazas, Jorge (2008). 〈Examples of noncommutative manifolds: complex tori and spherical manifolds〉. 《An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005》 (영어). World Scientific. 419–445쪽. arXiv:math/0703849. Bibcode:2007math......3849P. ISBN 978-981-270-616-4. Zbl 1146.58007. 
  3. Rieffel, Marc A.; Albert Schwarz (1999년 3월). “Morita equivalence of multidimensional noncommutative tori”. 《International Journal of Mathematics》 (영어) 10 (2): 289. arXiv:math/9803057. Bibcode:1998math......3057R. doi:10.1142/S0129167X99000100. ISSN 0129-167X. Zbl 0968.46060. 
  4. Elliott, George A.; Hanfeng Li (2007년 9월). “Morita equivalence of smooth noncommutative tori”. 《Acta Mathematica》 (영어) 199 (1): 1–27. doi:10.1007/s11511-007-0017-9. ISSN 0001-5962. MR 2350069. Zbl 1137.46030. 
  5. Douglas, Michael R.; Nikita A. Nekrasov (2001년 11월 29일). “Noncommutative field theory”. 《Reviews of Modern Physics》 73 (4): 977–1029. arXiv:hep-th/0106048. Bibcode:2001RvMP...73..977D. doi:10.1103/RevModPhys.73.977. ISSN 0034-6861. 

외부 링크편집