빛원뿔 좌표계

이론물리학에서, 빛원뿔 좌표계(빛圓뿔座標系, 영어: lightcone coordinate system) 또는 광추 좌표계(光錐座標系)란 민코프스키 공간의 좌표계의 하나다. 이 좌표계에서는 공간의 한 특정한 방향을 차별하여, 그 방향에 대한 인과성 구조를 명확히 드러낸다.

정의편집

 차원 민코프스키 공간의 직교 좌표계  를 생각하자. 직교 좌표계에서는 그 계량 텐서

 

가 된다. 여기서

 

를 정의하면, 빛원뿔 좌표계는  이다. 빛원뿔 좌표계에서 계량 텐서는 다음과 같다.

 

이 경우,

 

가 된다.

무질량 입자의 1차 양자화편집

빛원뿔 좌표계는 등각 불변이므로, 질량이 0인 입자나 막 따위를 다룰 때 용이하다.

예를 들어,  차원 시공간에서의 무질량 입자를 생각하자. 질량이 0이므로, 이는

 

등각 대칭을 갖는다.

이 입자의 작용

 

이다. 여기서  는 세계선의 임의의 좌표이며,

 

는 입자의 위치를 나타내는  의 함수이며,

 

 에 대한 속력이며,

 

는 세계선 위의 필바인이다. 그러나 이 작용에서는 등각 대칭이 명백히 드러나지 못한다.

이를 위하여, 가상의 “시간” 차원과 “공간” 차원을 추가하여, 민코프스키 공간  을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 적을 수 있다.[1]:§2, 2715

 
 
 

이는 다음과 같은 게이지 대칭을 갖는다.

 
 

이제, 보조장  운동 방정식

 

이다. 새로 추가한 두 차원의 빛원뿔 좌표를

 

라고 하자. 그렇다면,

 

가 된다. 이제

 
 

로 놓으면,

 

가 되어, 원래 작용을 얻게 된다.

참고 문헌편집

  1. Siegel, W. (1988). “Conformal invariance of extended spinning particle mechanics”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 3 (11): 2713–2718. Bibcode:1988IJMPA...3.2713S. doi:10.1142/S0217751X88001132.