페리 수열 은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수
n
{\displaystyle n}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
0
≤
h
≤
k
≤
n
{\displaystyle 0\leq h\leq k\leq n}
(
h
,
k
)
=
1
{\displaystyle (h,k)=1}
h
k
{\displaystyle {\frac {h}{k}}}
예를 들어 ,4번째 페리 수열
F
4
{\displaystyle F_{4}}
F
4
{\displaystyle F_{4}}
0 ⁄1 , 1 ⁄4 , 1 ⁄3 , 1 ⁄2 , 2 ⁄3 , 3 ⁄4 , 1 ⁄1 }
때때로 페리 수열을 페리 급수라고 부르지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니므로, 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.
n번째 페리 수열
F
n
{\displaystyle F_{n}}
0
≤
h
≤
k
≤
n
{\displaystyle 0\leq h\leq k\leq n}
(
h
,
k
)
=
1
{\displaystyle (h,k)=1}
h
/
k
{\displaystyle h/k}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
0
≤
h
≤
k
≤
n
+
1
{\displaystyle 0\leq h\leq k\leq n+1}
(
h
,
k
)
=
1
{\displaystyle (h,k)=1}
F
n
+
1
{\displaystyle F_{n+1}}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
F
n
+
1
{\displaystyle F_{n+1}}
F
n
+
1
{\displaystyle F_{n+1}}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
0
<
h
≤
k
=
n
+
1
{\displaystyle 0<h\leq k=n+1}
(
h
,
k
)
=
1
{\displaystyle (h,k)=1}
h
/
k
{\displaystyle h/k}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
오일러 피 함수 를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|
F
n
+
1
|
=
|
F
n
|
+
φ
(
n
+
1
)
{\displaystyle |F_{n+1}|=|F_{n}|+\varphi (n+1)}
즉,
|
F
n
|
{\displaystyle |F_{n}|}
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
|
F
1
|
=
2
{\displaystyle |F_{1}|=2}
|
F
n
|
{\displaystyle |F_{n}|}
|
F
n
|
=
1
+
∑
m
=
1
n
φ
(
m
)
{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)}
페리 수열
F
n
{\displaystyle F_{n}}
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}}
k
1
h
2
−
k
2
h
1
=
1
{\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1}
따라서, 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현 할 수 있다.
h
2
k
2
−
h
1
k
1
=
k
1
h
2
−
k
2
h
1
k
1
k
2
=
1
k
1
k
2
{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}-{\frac {h_{1}}{k_{1}}}={\frac {k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}}{k_{1}k_{2}}}={\frac {1}{k_{1}k_{2}}}}
연속된 세 항을 차례대로
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
,
h
3
/
k
3
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}
h
2
k
2
=
h
1
+
h
3
k
1
+
k
3
{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}}
이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
,
h
3
/
k
3
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}}
h
2
/
k
2
,
h
3
/
k
3
{\displaystyle h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}
k
1
h
2
−
k
2
h
1
=
1
{\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1}
k
2
h
3
−
k
3
h
2
=
1
{\displaystyle k_{2}h_{3}-k_{3}h_{2}=1}
(1)
×
h
3
{\displaystyle \times h_{3}}
+
{\displaystyle +}
×
h
1
{\displaystyle \times h_{1}}
×
k
3
{\displaystyle \times k_{3}}
+
{\displaystyle +}
×
k
1
{\displaystyle \times k_{1}}
h
1
+
h
3
=
h
2
(
k
1
h
3
−
h
1
k
3
)
{\displaystyle h_{1}+h_{3}=h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}
k
1
+
k
3
=
k
2
(
k
1
h
3
−
h
1
k
3
)
{\displaystyle k_{1}+k_{3}=k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}
따라서,
h
1
+
h
3
k
1
+
k
3
=
h
2
(
k
1
h
3
−
h
1
k
3
)
k
2
(
k
1
h
3
−
h
1
k
3
)
=
h
2
k
2
{\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}={\frac {h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}{k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}}={\frac {h_{2}}{k_{2}}}}
