사용자:Rudius/코시-리만 방정식:임시

수학, 특히 복소해석학에서, 코시-리만 방정식(Cauchy-Riemann Equations)은 프랑스의 수학자 오귀스탱 코시와 독일 수학자 베른하르트 리만의 이름을 따라 명명된 두 개의 편미분방정식이다. 어떤 복소함수가 이 방정식을 만족하는 것은 그 함수가 정칙함수(holomorphic function)가 될 필요조건이 된다. 하지만 일반적으로 충분조건이 되지는 못한다. 그 복소 함수의 실수부 함수와 허수부 함수(즉 두 개의 실함수 $u$ 와 $v$ )가 연속인 편도함수를 갖는다는 추가적인 조건을 주면, 그 함수의 코시-리만 방정식을 만족하는 것은 함수가 해석적임과 동치 조건이 된다. 이 방정식들은 달랑베르의 1752년의 연구에서 처음으로 모습을 드러내고, 1777년에 오일러는 이 방정식들을 해석함수와 연관시켰다.

공식

$f(x+iy)=u+iv$ 를 복소수체 $\mathbb {C}$ 의 한 열린 부분집합에서 $\mathbb {C}$ 로 가는 함수라 하자. 이 때 $x,y,u,v$ 는 모두 실수이고, 특히 $u,v$ 는 $\mathbb {R} ^{2}$ 의 한 열린 부분집합에서 정의된 실함수이다. 이 때 함수 $f$ 가 정칙함수일 필요충분조건은 $u$ 와 $v$ 의 모든 편도함수가 연속이고, 또한 편도함수들이 다음의 코시-리만 방정식을 만족하는 것이다.