수학 에서 모듈러 형식 은 복소해석학 및 정수론 에서 중요한 상반평면 에 있는 특정 복소 해석 함수 이다. 소수
p
{\displaystyle p}
를 법으로 환산하면 복소 모듈러 형식의 고전 이론과 모듈러 형식의
p
{\displaystyle p}
-진 이론에 대한 비슷한 이론이 있다.
모듈러 형식 은 해석 함수이므로 푸리에 급수 표현을 갖는다. 모듈러 형식도 모듈러 군 의 군 작용 에 대한 함수 방정식 을 만족하므로 이 푸리에 급수는 항
q
=
e
2
π
i
z
{\displaystyle q=e^{2\pi iz}}
으로 표현될 수 있다. 그래서 만약
f
{\displaystyle f}
가 모듈러 형식이면
f
(
z
)
=
∑
n
∈
N
c
(
n
)
q
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }c(n)q^{n}}
이 성립하는 계수들
{
c
(
n
)
}
{\displaystyle \{c(n)\}}
이 있다. 모듈러 형식들 가운데
q
{\displaystyle q}
-급수의 계수가 모두 정수인 경우만 모은 모듈러 형식 공간의 부분 공간을 고려하자. 그러면 모든 계수를 법 2로 줄이는 것이 가능하며, 이는 법 2로 축소한 모듈러 형식을 제공한다.
모듈러 형식은
G
2
{\displaystyle G_{2}}
,
G
3
{\displaystyle G_{3}}
로 생성된다.[1] 그러면
G
2
{\displaystyle G_{2}}
,
G
3
{\displaystyle G_{3}}
를
q
{\displaystyle q}
-급수의 계수가 모두 정수인
E
2
{\displaystyle E_{2}}
,
E
3
{\displaystyle E_{3}}
로 정규화 할 수 있다. 이것은 법 2로 축소될 수 있는 모듈러 형식들의 생성원이다. 밀러 기저에는 몇 가지 흥미로운 성질이 있다.[2] 일단 법 2를 줄이면,
E
2
{\displaystyle E_{2}}
와
E
3
{\displaystyle E_{3}}
는 그냥
1
{\displaystyle 1}
이다. 즉, 자명한 축소이다. 자명하지 않은 축소를 얻기 위해 수학자들은 모듈러 판별식
Δ
{\displaystyle \Delta }
을 사용한다.
Δ
{\displaystyle \Delta }
는
E
2
{\displaystyle E_{2}}
와
E
3
{\displaystyle E_{3}}
이전에 "선험적인" 생성원으로 도입되었다. 따라서 모듈러 형식은
E
2
{\displaystyle E_{2}}
,
E
3
{\displaystyle E_{3}}
,
Δ
{\displaystyle \Delta }
의 다항식으로 여겨진다. (일반적으로
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
위에서이지만, 축소를 위해 정수
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
를 통해 볼 수 있다.) 일단 법 2로 축소하면
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
위에서
Δ
{\displaystyle \Delta }
의 다항식이 된다.
모듈러 판별식은 무한 곱
Δ
(
q
)
=
q
∏
n
=
1
∞
(
1
−
q
n
)
24
=
∑
n
=
1
∞
τ
(
n
)
q
n
.
{\displaystyle \Delta (q)=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}.}
으로 정의된다. 이 무한곱의
q
{\displaystyle q}
-급수 형태에서 계수는 일반적으로 라마누잔 타우 함수
τ
{\displaystyle \tau }
에 해당한다. 콜베르그[3] 와 장-피에르 세르[4] 의 결과는
Δ
(
q
)
≡
∑
m
=
0
∞
q
(
2
m
+
1
)
2
mod
2
{\displaystyle \Delta (q)\equiv \sum _{m=0}^{\infty }q^{(2m+1)^{2}}{\bmod {2}}}
임을 보여준다. 즉, 2를 법으로
Δ
{\displaystyle \Delta }
의
q
{\displaystyle q}
-급수는
q
{\displaystyle q}
홀수 제곱의 거듭제곱에.
헤케 연산자는 일반적으로 모듈러 형식에서 작동하는 가장 중요한 연산자로 여겨진다. 따라서 이를 법 2로 줄이려는 시도는 정당하다.
모듈러 형식
f
{\displaystyle f}
의 헤케 연산자들은 다음과 같이 정의된다:[5]
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
에 대해
T
n
f
(
z
)
=
n
2
k
−
1
∑
a
≥
1
,
a
d
=
n
,
0
≤
b
<
d
d
−
2
k
f
(
a
z
+
b
d
)
{\displaystyle T_{n}f(z)=n^{2k-1}\sum _{a\geq 1,\,ad=n,\,0\leq b<d}d^{-2k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)}
.
헤케 연산자는 다음과 같이
q
{\displaystyle q}
-급수 위에서 정의할 수 있다:[5]
f
(
z
)
=
∑
n
∈
Z
c
(
n
)
q
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c(n)q^{n}}
이면,
T
n
f
(
z
)
=
∑
m
∈
Z
γ
(
m
)
q
m
{\displaystyle T_{n}f(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\gamma (m)q^{m}}
, 여기서
γ
(
z
)
=
∑
a
|
(
n
,
m
)
,
a
≥
1
a
2
k
−
1
c
(
m
n
a
2
)
.
{\displaystyle \gamma (z)=\sum _{a|(n,m),\,a\geq 1}a^{2k-1}c\left({\frac {mn}{a^{2}}}\right).}
모듈러 형식이
q
{\displaystyle q}
-급수을 사용하여 축소되었기 때문에,
q
{\displaystyle q}
-급수 정의를 채택하는 것은 의미가 있다. 이 합은 소수 헤케 연산자(즉,
m
{\displaystyle m}
이 소수일 때)이 많이 단순화 하기 때문에(더하는 항이 2개뿐이다.), 이는 법 2로 축소에 하기 아주 좋다. 더하는 항이 3개 이상인 경우 법 2로 많은 상쇄가 발생하며 과정의 유의미성이 의심될 수 있다. 따라서 법 2 헤케 연산자는 일반적으로 소수에 대해서만 정의한다.
q
{\displaystyle q}
-표현
f
(
q
)
=
∑
n
∈
N
c
(
n
)
q
n
{\displaystyle f(q)=\sum _{n\in \mathbb {N} }c(n)q^{n}}
을 가진 법 2 모듈러 형식
f
{\displaystyle f}
에 대해,
f
{\displaystyle f}
위의 헤케 연산자
T
p
{\displaystyle T_{p}}
는
T
p
¯
|
f
(
q
)
=
∑
n
∈
N
γ
(
n
)
q
n
{\displaystyle {\overline {T_{p}}}|f(q)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\gamma (n)q^{n}}
로 정의된다. 여기서
γ
(
n
)
=
{
c
(
n
p
)
if
p
∤
n
c
(
n
p
)
+
c
(
n
/
p
)
if
p
∣
n
and
p
an odd prime
.
{\displaystyle \gamma (n)={\begin{cases}c(np)&{\text{ if }}p\nmid n\\c(np)+c(n/p)&{\text{ if }}p\mid n\end{cases}}\quad {\text{ and }}p{\text{ an odd prime}}.}
법 2 헤케 연산자는 영인자를 가지고 있다는 흥미로운 성질에 유의하는 것이 중요하다. 영인자의 위수를 찾는 것은 장-피에르 세르와 장-루이 니콜라가 2012년에 발표한 논문에서 해결한 문제이다.[6]
헤케 대수는 법 2로 축소될 수도 있다. 그것은
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
위에서 법 2 헤케 연산자에 의해 생성된 대수로 정의된다.
[7] 에서 세르와 니콜라의 표기법에 따라
F
=
⟨
Δ
k
∣
k
odd
⟩
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\langle \Delta ^{k}\mid k{\text{ odd}}\right\rangle }
, 즉
F
=
⟨
Δ
,
Δ
3
,
Δ
5
,
Δ
7
,
Δ
9
,
…
⟩
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\langle \Delta ,\Delta ^{3},\Delta ^{5},\Delta ^{7},\Delta ^{9},\dots \right\rangle }
.
dim
(
F
(
n
)
)
=
n
{\displaystyle \dim({\mathcal {F}}(n))=n}
이도록
F
(
n
)
=
⟨
Δ
,
Δ
3
,
Δ
5
,
…
,
Δ
2
n
−
1
⟩
{\displaystyle {\mathcal {F}}(n)=\left\langle \Delta ,\Delta ^{3},\Delta ^{5},\dots ,\Delta ^{2n-1}\right\rangle }
로 쓰면서, 주어진
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
그리고
T
p
{\displaystyle T_{p}}
애 대해
A
(
n
)
{\displaystyle A(n)}
를
End
(
F
(
n
)
)
{\displaystyle {\text{End}}\left({\mathcal {F}}(n)\right)}
의
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
-부분 대수로 정의한다.
즉, 만약
m
(
n
)
=
{
T
p
1
⋅
T
p
2
⋯
T
p
k
∣
p
1
,
p
2
,
…
,
p
k
∈
P
,
k
≥
1
}
{\displaystyle {\mathfrak {m}}(n)=\{T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdots T_{p_{k}}\mid p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\in \mathbb {P} ,k\geq 1\}}
이
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
의 부분 선형 공간이면,
A
(
n
)
=
F
2
⊕
m
(
n
)
{\displaystyle A(n)=\mathbb {F} _{2}\oplus {\mathfrak {m}}(n)}
.
마지막으로 헤케 대수
A
{\displaystyle A}
를 다음과 같이 정의한다:
F
(
n
)
⊂
F
(
n
+
1
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(n)\subset {\mathcal {F}}(n+1)}
이므로,
A
(
n
)
{\displaystyle A(n)}
의 원소를 얻기 위해
A
(
n
+
1
)
{\displaystyle A(n+1)}
의 원소를
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
로 제한할 수 있다. 사상
ϕ
n
:
A
(
n
+
1
)
→
A
(
n
)
{\displaystyle \phi _{n}:A(n+1)\to A(n)}
을
F
(
n
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(n)}
에 대한 제한으로 생각할 때,
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
는 준동형사상이다.
A
(
1
)
{\displaystyle A(1)}
이 항등원 또는 0이므로
A
(
1
)
≅
F
2
{\displaystyle A(1)\cong \mathbb {F} _{2}}
이다. 따라서 사슬
⋯
→
A
(
n
+
1
)
→
A
(
n
)
→
A
(
n
−
1
)
→
⋯
→
A
(
2
)
→
A
(
1
)
≅
F
2
{\displaystyle \dots \to A(n+1)\to A(n)\to A(n-1)\to \dots \to A(2)\to A(1)\cong \mathbb {F} _{2}}
을 얻는다. 그런 다음 헤케 대수
A
{\displaystyle A}
를
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
일 때
A
(
n
)
{\displaystyle A(n)}
위의 사영 극한으로 정의하자. 명시적으로 이것은
A
=
lim
←
n
∈
N
A
(
n
)
=
{
T
p
1
⋅
T
p
2
⋯
T
p
k
|
p
1
,
p
2
,
…
,
p
k
∈
P
,
k
≥
0
}
{\displaystyle A=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }A(n)=\left\lbrace T_{p_{1}}\cdot T_{p_{2}}\cdots T_{p_{k}}|p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}\in \mathbb {P} ,k\geq 0\right\rbrace }
을 의미한다.
헤케 대수
A
{\displaystyle A}
의 주요 성질은 이 대수가
T
3
{\displaystyle T_{3}}
와
T
5
{\displaystyle T_{5}}
의 급수로 생성된다는 것이다.[7] 즉,
A
=
F
2
[
T
p
∣
p
∈
P
]
=
F
2
[
[
T
3
,
T
5
]
]
{\displaystyle A=\mathbb {F} _{2}\left[T_{p}\mid p\in \mathbb {P} \right]=\mathbb {F} _{2}\left[\left[T_{3},T_{5}\right]\right]}
.
따라서 임의의 소수
p
∈
P
{\displaystyle p\in \mathbb {P} }
에 대해,
T
p
=
∑
i
+
j
≥
1
a
i
j
(
p
)
T
3
i
T
5
j
{\displaystyle T_{p}=\sum _{i+j\geq 1}a_{ij}(p)T_{3}^{i}T_{5}^{j}}
이 성립하는 계수
a
i
j
(
p
)
∈
F
2
{\displaystyle a_{ij}(p)\in \mathbb {F} _{2}}
를 찾을 수 있다.
↑ Stein, William (2007). 《Modular Forms, a Computational Approach》 . Graduate Studies in Mathematics. Theorem 2.17. ISBN 978-0-8218-3960-7 .
↑ Stein, William (2007). 《Modular Forms, a Computational Approach》 . Graduate Studies in Mathematics. Lemma 2.20. ISBN 978-0-8218-3960-7 .
↑ Kolberg, O. (1962). “Congruences for Ramanujan's function
τ
(
n
)
{\displaystyle \tau (n)}
”. 《Årbok for Universitetet i Bergen Matematisk-naturvitenskapelig Serie》 (11). MR 0158873 .
↑ Serre, Jean-Pierre (1973). 《A course in arithmetic》. Springer-Verlag, New York-Heidelberg. 96쪽. ISBN 978-1-4684-9884-4 .
↑ 가 나 Serre, Jean-Pierre (1973). 《A course in arithmetic》. Springer-Verlag, New York-Heidelberg. 100쪽. ISBN 978-1-4684-9884-4 .
↑ Nicolas, Jean-Louis; Serre, Jean-Pierre (2012). “Formes modulaires modulo 2: l'ordre de nilpotence des opérateurs de Hecke”. 《Comptes Rendus Mathématique》 350 (7–8): 343–348. arXiv :1204.1036 . Bibcode :2012arXiv1204.1036N . doi :10.1016/j.crma.2012.03.013 . ISSN 1631-073X .
↑ 가 나 Nicolas, Jean-Louis; Serre, Jean-Pierre (2012). “Formes modulaires modulo 2: structure de l'algèbre de Hecke”. 《Comptes Rendus Mathématique》 350 (9–10): 449–454. arXiv :1204.1039 . Bibcode :2012arXiv1204.1039N . doi :10.1016/j.crma.2012.03.019 . ISSN 1631-073X .