슈라이어 정리

군론에서 슈라이어 정리(영어: Schreier theorem)는 임의의 의 두 정규 부분군의 열을 서로 ‘동치’가 되도록 세분할 수 있다는 정리이다.

정의

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 정규 부분군들의 열

 
 

이 주어졌다고 하자. 만약 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 세분(영어: refinement)이라고 한다. 만약  이며, 모든  에 대하여 몫군   동형이 되는,  순열  가 존재한다면, 두 열이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.

슈라이어 정리에 따르면,  의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.[1]:22, §I.3, Theorem 3.4

슈라이어 정리의 증명:

 의 두 정규 부분군의 열

 
 

이 주어졌다고 하자.

 
 

라고 하자. 그렇다면, 나비 보조정리에 따라 각   에 대하여

 
 

이며, 다음과 같은 ( 쌍의) 몫군동형이 성립한다.

 

따라서, 두 열의 세분

 
 

은 서로 동치이다.

참고 문헌

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  1. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.