군론에서 정규 부분군(正規部分群, 영어: normal subgroup)은 내부자기동형사상에 대해 불변인 부분군을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군을 취할 수 있다.

정의

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 부분군  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분군을  정규 부분군이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  
  • 임의의  에 대하여,  . 즉, 내부자기동형사상에 대하여 불변이다.
  • 임의의  에 대하여,  . 즉, 좌잉여류우잉여류가 일치한다.
  •  군 준동형  가 존재한다.
  • 정규화 부분군  전체이다. 즉,  이다.
  • 정규핵이 자기 자신이다. 즉,  이다.

  의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.

 

성질

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 부분군  이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.

  •  아벨 군이다.
  •   중심이다.
  •  자명군이다.
  •  이다.
  •  유한군이며,  지표   의 가장 작은 소인수이다.
  •  유한군이며,  지표  는 2이다.
  •   특성 부분군이다.

증명 (지표가 최소 소인수 ⇒ 정규 부분군):

 임을 보이는 것으로 족하다.   의 최소 소인수라고 하자.  군의 작용

 
 

이므로, 몫군

 

대칭군  부분군동형이며, 그 크기는 대칭군의 크기  의 약수이다. 즉, 몫군

 

의 크기는  의 약수이다. 그러나 위 몫군의 크기는   미만의 소인수를 가질 수 없다. 따라서 크기는 1이다.

 의 정규 부분군  가 주어졌다면, 몫군  에서  외부자기동형군  로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

 

이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열이다.

 

여기서 준동형   이며,   이다.

특히,  이 아벨 정규 부분군일 경우,  자명군이며  이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형을 얻는다.

 
 

유클리드 군  은 평행 이동의 군  을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군  은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.

역사

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정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아였다.

같이 보기

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참고 문헌

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외부 링크

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