스테인하우스-모서 표기법

수학에서 스테인하우스-모서 표기법(영어: Steinhaus–Moser notation)은 특정한 매우 큰 수를 표현하는 표기법으로, 스테인하우스의 다각형 표기법의 확장판이다.

정의

편집
  삼각형 안에 n을 쓴 수는 nn을 의미한다.
  사각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 삼각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다.
  오각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 사각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다.

etc.: (m + 1)각형 안에 n을 쓴 수는 "중첩된 m각형 n개 안에 n을 쓴 수"와 같다. 다각형이 여러 개 중첩되어 있을 때, associated inward이다. 삼각형 두 개 안에 n을 쓴 것은 삼각형 안에 nn을 쓴 것과 같고, nnnn제곱과 같다.

스테인하우스는 삼각형, 사각형, 그리고 위에서 정의한 오각형과 동일한  만을 정의했다.

특수값

편집

스테인하우스는 다음을 정의했다:

  • mega는 원 안에 2를 쓴 수이다:
  • megiston은 원 안에 10을 쓴 수이다: ⑩

모서 수(영어: Moser's number)는 "megagon 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, megagon은 "mega"각형을 의미하며, 백만각형(영어: megagon)과 혼동해서는 안된다.

다른 표기법:

  • 함수 square(x)와 triangle(x)를 사용한다
  • M(n, m, p)를 중첩된 p각형 m개 안에 n을 쓴 수를 의미한다. 즉, 규칙은 다음과 같다:
    •  
    •  
    •  
  • 그리고
    • mega =  
    • megiston =  
    • moser =  

mega (②)는 다음을 보면 알 수 있듯이 그 자체로도 매우 큰 수이다: ② = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(22)) = square(triangle(4)) = square(44) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 triangles] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256256)...))) [255 triangles] ~ triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10616)...))) [254 triangles] = ...

다른 표기법을 사용하면:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

함수  를 사용하면 mega =  이고, 이 때 지수는 대수적인 거듭제곱이 아닌 함수의 거듭제곱을 의미한다.

우리는 다음을 알고 있다(거듭제곱이 오른쪽에서 왼쪽으로 계산하는 관습을 주목하라):

  • M(256,2,3) =  
  • M(256,3,3) =   

유사하게:

  • M(256,4,3) ≈  
  • M(256,5,3) ≈  

etc.

따라서:

  • mega =  이고, 이 때  는 함수  의 함수 거듭제곱을 의미한다.

더 근사하면 (끝의 257을 256으로 바꾸면), 커누스 윗화살표 표기법으로 mega ≈  을 얻을 수 있다.

처음 몇 단계 이후  의 값은 근사적으로  과 같아진다. 사실은  과도 같아진다 (매우 큰 수에 대한 근사적 산술을 보라). 십진법을 사용하면 다음을 얻을 수 있다:

  •  
  •   ( 을 616에 더한 값이다)
  •   (  에 더해졌지만 무시할 수 있기 때문에 단순히 아래에 10이 더 생겼다)
  •  

...

  • mega =  , 이 때  는 함수  의 함수적 거듭제곱을 의미한다. 따라서  이다.

모서 수

편집

모서 수는 그 크기가 콘웨이 연쇄 화살표 표기법으로 증명되었다.

 

그리고 커누스 윗화살표 표기법으로도 증명되었다.

 

따라서 모서 수는 이해하기 어려울 정도로 크지만 그레이엄 수에 비해서는 없는 것이나 마찬가지로 작다:

 

같이 보기

편집

외부 링크

편집