스토크스 변수 는 (가시광선 등을 포함한) 전자기파 의 편광 상태를 설명하기 위해 도입된 값이다. 이 변수들은 1852년 조지 가브리엘 스토크스 에 의해, 결맞지 않거나 부분 편광된 광선에서 전체 광량 (Intensity, I ), 편광도(Degree of polarization, p ), 그리고 편광 타원 의 모양변수 등에 대한 일반적인 설명을 간편하게 수학적으로 대체하기 위해 도입되었다. 스토크스 변수와 광량, 편광 타원의 매개변수들 사이의 관계는 다음의 관계식과 그림에 나타나 있다.
포앵카레 구면
S
0
=
I
S
1
=
I
p
cos
2
ψ
cos
2
χ
S
2
=
I
p
sin
2
ψ
cos
2
χ
S
3
=
I
p
sin
2
χ
{\displaystyle {\begin{matrix}S_{0}&=&I\\S_{1}&=&Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=&Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=&Ip\sin 2\chi \end{matrix}}}
여기에서
I
p
{\displaystyle Ip}
2
ψ
{\displaystyle 2\psi }
2
χ
{\displaystyle 2\chi }
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
S
3
{\displaystyle S_{3}}
3차원 공간 상에 표현했을 때 편광 상태의 구면 좌표계 성분들이다. 위 식에서
ψ
{\displaystyle \psi }
χ
{\displaystyle \chi }
I , Q , U , V 로 쓰이기도 한다.
스토크스 변수들이 주어지면 각각의 구면 좌표계 성분은 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.
편광 타원
I
=
S
0
2
ψ
=
tan
−
1
S
2
S
1
2
χ
=
tan
−
1
cos
2
ψ
S
1
p
=
s
3
I
sin
2
χ
{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&S_{0}\\2\psi &=&\tan ^{-1}{\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=&\tan ^{-1}{\frac {\cos 2\psi }{S_{1}}}\\p&=&{\frac {s3}{I\sin 2\chi }}\\\end{matrix}}}
스토크스 벡터
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다른 방식의 설명
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단색 평면파 는 전파되는 방향의 벡터(propagation vector)
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
(
ϵ
^
1
,
ϵ
^
2
)
{\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}
전기장 의 복소수 진폭
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
Ψ
{\displaystyle \Psi }
직선편광 과 원편광 은 가장 일반적인 타원편광 의 특수한 경우라 할 수 있다.
일반적인 타원편광은 편광 타원의 반장축 (半長軸; 타원의 장축 길이 절반) A와 반단축 (半短軸; 타원의 단축 길이 절반) B인 타원이 x 축에서
θ
{\displaystyle \theta }
I , Q , U , V 는 실험적으로 편광 상태를 설명할 때 편리하게 사용되는데, 각 변수들이 측정된 광도의 합이나 차와 바로 연관되기 때문이다. 다음 그래프들은 특수한 경우 스토크스 변수들의 예이다.
스토크스 변수는 다음과 같이 정의된다.
I
=
d
e
f
|
E
x
|
2
+
|
E
y
|
2
,
=
|
E
a
|
2
+
|
E
b
|
2
,
=
|
E
l
|
2
+
|
E
r
|
2
,
Q
=
d
e
f
|
E
x
|
2
−
|
E
y
|
2
,
U
=
d
e
f
|
E
a
|
2
−
|
E
b
|
2
,
V
=
d
e
f
|
E
l
|
2
−
|
E
r
|
2
,
{\displaystyle {\begin{matrix}I&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2},\end{matrix}}}
여기서 밑에 쓰인 문자들은 각각 세 축요소를 뜻한다. 데카르트 좌표 에서 (
x
^
,
y
^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}
데카르드 좌표계 를 45°회전시킨 경우의 (
a
^
,
b
^
{\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}
원통 좌표계 에서 (
l
^
,
r
^
{\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}
l
^
=
(
x
^
+
i
y
^
)
/
2
{\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}
고정된 축에 대한 표현
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고정된 (
x
^
,
y
^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}
I
=
|
E
x
|
2
+
|
E
y
|
2
,
Q
=
|
E
x
|
2
−
|
E
y
|
2
,
U
=
2
Re
(
E
x
∗
E
y
)
,
V
=
2
Im
(
E
x
∗
E
y
)
,
{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=&|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=&2{\mbox{Re}}(E_{x}^{*}E_{y}),\\V&=&2{\mbox{Im}}(E_{x}^{*}E_{y}),\\\end{matrix}}}
반면,
(
a
^
,
b
^
)
{\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}
I
=
|
E
a
|
2
+
|
E
b
|
2
,
Q
=
−
2
Re
(
E
a
∗
E
b
)
,
U
=
|
E
a
|
2
−
|
E
b
|
2
,
V
=
2
Im
(
E
a
∗
E
b
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=&-2{\mbox{Re}}(E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=&|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=&2{\mbox{Im}}(E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{matrix}}}
이고,
(
l
^
,
r
^
)
{\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}
I
=
|
E
l
|
2
+
|
E
r
|
2
,
Q
=
2
Re
(
E
l
∗
E
r
)
,
U
=
−
2
Im
(
E
l
∗
E
r
)
,
V
=
|
E
l
|
2
−
|
E
r
|
2
.
{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=&2{\mbox{Re}}(E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=&-2{\mbox{Im}}(E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=&|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2}.\\\end{matrix}}}
이 된다.
순수한 단색 의 결맞은 빛(monochromatic coherent light)의 경우엔
Q
2
+
U
2
+
V
2
=
I
2
,
{\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},\end{matrix}}}
이지만, 보통의 백색광(결맞지 않은)의 경우에 스토크스 변수는 평균값으로 정의되고, 위의 등식은 다음과 같은 부등식이 된다.
Q
2
+
U
2
+
V
2
≤
I
2
.
{\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.\end{matrix}}}
그러나, 여기에서 총 편광량(total polarized intensity)
I
p
{\displaystyle I_{p}}
Q
2
+
U
2
+
V
2
=
I
p
2
,
{\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},\end{matrix}}}
로 쓸 수 있고,
I
p
/
I
{\displaystyle I_{p}/I}
선형편광시 복소 광량을 다음과 같이 정의해보자.
L
=
d
e
f
|
L
|
e
i
2
θ
=
d
e
f
Q
+
i
U
.
{\displaystyle {\begin{matrix}L&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &|L|e^{i2\theta }\\&\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ &Q+iU.\\\end{matrix}}}
편광 타원에서
θ
→
θ
+
θ
′
{\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}
I 와 V 는 불변이지만,
L
→
e
i
2
θ
′
L
,
Q
→
Re
(
e
i
2
θ
′
L
)
,
U
→
Im
(
e
i
2
θ
′
L
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{matrix}}}
이 되어, 스토크수 변수들의 다음과 같은 경향성을 추론할 수 있다.
I
≥
0
,
V
∈
R
,
L
∈
C
,
{\displaystyle {\begin{matrix}I&\geq &0,\\V&\in &\mathbb {R} ,\\L&\in &\mathbb {C} ,\\\end{matrix}}}
여기서 I 는 전체 광량을 의미하고,
|
V
|
{\displaystyle |V|}
|
L
|
{\displaystyle |L|}
I
p
=
L
2
+
V
2
{\displaystyle I_{p}={\sqrt {L^{2}+V^{2}}}}
θ
=
1
2
arg
(
L
)
,
h
=
sgn
(
V
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}
여기서
Q
=
Re
(
L
)
{\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}
U
=
Im
(
L
)
{\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}
|
L
|
=
Q
2
+
U
2
,
θ
=
1
2
tan
−
1
(
U
/
Q
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{matrix}}}
이 된다.
편광 타원과의 관계
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편광 타원에서 매개변수들은 스토크스 변수인
I
p
=
A
2
+
B
2
,
Q
=
(
A
2
−
B
2
)
cos
(
2
θ
)
,
U
=
(
A
2
−
B
2
)
sin
(
2
θ
)
,
V
=
2
A
B
h
.
{\displaystyle {\begin{matrix}I_{p}&=&A^{2}+B^{2},\\Q&=&(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=&(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=&2ABh.\\\end{matrix}}}
를 가리키며, 위 식을 통해
A
=
1
2
(
I
p
+
|
L
|
)
B
=
1
2
(
I
p
−
|
L
|
)
θ
=
1
2
arg
(
L
)
h
=
sgn
(
V
)
.
{\displaystyle {\begin{matrix}A&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}
임을 알 수 있다.
같이 보기
편집
