추이 측도

측도론과 확률론에서 추이 측도(推移測度, 영어: transition measure)는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수이며 두 번째 변수에 대하여 측도인 이변수 함수이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도를 유도할 수 있다.

정의

두 가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$와 $(Y,{\mathcal {G}})$ 사이의 추이 측도는 다음 두 조건을 만족시키는 함수

$\mu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]$

이다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $B\mapsto \mu (x,B)$는 $(Y,{\mathcal {G}})$ 위의 측도이다.
• 임의의 $B\in {\mathcal {G}}$에 대하여, $x\mapsto \mu (x,B)$는 $(X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))$ 가측 함수이다.

만약 임의의 $x\in X$에 대하여 $B\mapsto \mu (x,B)$가 확률 측도라면, $\mu$를 확률 추이 측도(確率推移測度, 영어: probability transition measure)이라고 한다.

시그마 유한 추이 측도

두 가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$와 $(Y,{\mathcal {G}})$ 사이의 추이 측도 $\mu$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {G}}$가 존재한다면, $\mu$를 시그마 유한 추이 측도(-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다.

$|{\mathcal {B}}|\leq \aleph _{0}$

$Y=\bigcup {\mathcal {B}}$

$\mu (x,B)<\infty \qquad \forall x\in X,\;B\in {\mathcal {B}}$

두 가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$와 $(Y,{\mathcal {G}})$ 사이의 추이 측도 $\mu$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {G}}$ 및 ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {G}}$가 존재한다면, $\mu$를 균등 시그마 유한 추이 측도(均等-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다.

$|{\mathcal {A}}|,|{\mathcal {B}}|\leq \aleph _{0}$

$X=\bigcup {\mathcal {A}}$

$Y=\bigcup {\mathcal {B}}$

$\sup _{x\in A}\mu (x,B)<\infty \qquad \forall A\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {B}}$

성질

유한 차원 곱공간 위의 측도

 푸비니 정리 문서를 참고하십시오.

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 개의 가측 공간 $(X_{i},{\mathcal {F}}_{i})_{i=1,\dots ,n}$
• 각 $i=1,\dots ,n$에 대하여, $\textstyle (\prod _{j=1}^{i-1}X_{j},\prod _{j=1}^{i-1}{\mathcal {F}}_{j})$와 $(X_{i},{\mathcal {F}}_{i})$ 사이의 시그마 유한 추이 측도 $\mu _{i}$. (특히, $\mu _{1}$은 $(X_{1},{\mathcal {F}}_{1})$ 위의 시그마 유한 측도이다.)

그렇다면, 곱 가측 공간 $\textstyle (\prod _{i=1}^{n}X_{i},\prod _{i=1}^{n}{\mathcal {F}}_{i})$ 위에 다음과 같은 시그마 유한 측도를 부여할 수 있다.

$\mu \colon S\mapsto \int _{X_{1}}\int _{X_{2}}\cdots \int _{X_{n}}1_{S}(x_{1},\dots ,x_{n})\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall S\in \prod _{i=1}^{n}{\mathcal {F}}_{i}$

이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도이다.

$\mu \left(\prod _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\int _{A_{1}}\int _{A_{2}}\cdots \int _{A_{n}}\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}$

또한, 임의의 적분 가능 가측 함수 $\textstyle f\colon \prod _{i=1}^{n}X_{i}\to \mathbb {(} \mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\int _{\prod _{i=1}^{n}X_{i}}f\mathrm {d} \mu =\int _{X_{1}}\int _{X_{2}}\cdots \int _{X_{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})$

가산 차원 곱공간 위의 확률 측도

다음이 주어졌다고 하자.

• 가산 무한 개의 가측 공간 $(X_{i},{\mathcal {F}}_{i})_{i=1,2,\dots }$
• 각 $i=1,2,\dots$에 대하여, $\textstyle (\prod _{j=1}^{i-1}X_{j},\prod _{j=1}^{i-1}{\mathcal {F}}_{j})$와 $(X_{i},{\mathcal {F}}_{i})$ 사이의 확률 추이 측도 $P_{i}$. (특히, $P_{1}$은 $(X_{1},{\mathcal {F}}_{1})$ 위의 확률 측도이다.)

그렇다면, 이오네스쿠 툴체아 정리(-定理, 영어: Ionescu Tulcea theorem)에 따르면 곱 가측 공간 $\textstyle (\prod _{i=1}^{\infty }X_{i},\prod _{i=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{i})$ 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도 $P$가 존재한다.

$P\left(\prod _{i=1}^{n}A_{i}\times \prod _{i=n+1}^{\infty }X_{i}\right)=\int _{A_{1}}\int _{A_{2}}\cdots \int _{A_{n}}P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots P_{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})P_{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall n=1,2,\dots ,\;A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}$

범주론적 성질

3개의 가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$, $(Y,{\mathcal {G}})$, $(Z,{\mathcal {H}})$ 및 $X\times {\mathcal {G}}$ 위의 확률 추이 측도 $\mu$ 및 $Y\times {\mathcal {H}}$ 위의 확률 추이 측도 $\nu$가 주어졌을 때, $X\times {\mathcal {H}}$ 위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.

$\nu \circ \mu \colon (x,C)\mapsto \int _{Y}\nu (y,C)\mu (x,\mathrm {d} y)$

확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간과 확률 추이 측도는 범주를 이룬다.

예

두 가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$, $(Y,{\mathcal {G}})$ 및 $(Y,{\mathcal {G}})$ 위의 측도 $\mu$가 주어졌을 때, 함수

$(x,B)\mapsto \mu (B)$

는 $(X,{\mathcal {F}})$와 $(Y,{\mathcal {G}})$ 사이의 추이 측도를 이룬다. 만약 $\mu$가 시그마 유한 측도 · 확률 측도라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.

유한 이산 가측 공간 $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))$이 주어졌고, 행렬 $p\colon \Omega \times \Omega \to [0,1]$가

$\sum _{y\in \Omega }p(x,y)=1\qquad \forall x\in \Omega$

를 만족시킬 때, 함수

$(x,B)\mapsto \sum _{y\in B}p(x,y)$

는 $(\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))$ 위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.

역사

이오네스쿠 툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠 툴체아(루마니아어: Cassius Tocqueville Ionescu Tulcea)가 증명하였다.

참고 문헌

• Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997. 
• Parthasarathy, K. R. (2005). 《Introduction to Probability and Measure》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 33. Gurgaon: Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-27-9. ISBN 978-81-85931-55-5. ISSN 2366-8717.