가측 함수

측도론에서, 가측 함수(可測函數, 영어: measurable function)는 원상에 대한 가측성을 보존하는 함수이다.

정의편집

가측 공간  ,   사이의 가측 함수  는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

  • 모든  에 대하여,  

만약 공역유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수  "는 보통  을 의미한다.

성질편집

두 가측 함수

 
 

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

 

역시 가측 함수이다.

보렐 가측 함수편집

  보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.

  •    사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다.
  • 반대로, 루진의 정리에 따르면,  제2 가산 공간이며  라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수   의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다.

 가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.

  • 두 가측 함수  에 대하여,   는 가측 함수이다.
  • 가측 함수의 열  의 점별 극한(pointwise limit)은 가측 함수이다.
  • 모든 르베그 적분 가능 함수  는 가측 함수이다.

르베그 가측 함수편집

임의의 함수   에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 가측 함수이다.
  • 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.
 

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정의에 따르면 확률 변수표본 공간에서의 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약  가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수  는 가측 함수가 아니다.

참고 문헌편집

  • Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley. ISBN 0-471-00710-2. 

외부 링크편집