가측 함수

측도론에서, 가측 함수(可測函數, 영어: measurable function)는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다.

정의편집

가측 공간  ,   사이의 가측 함수  는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

  • 모든  에 대하여,  

만약 공역유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수  "는 보통  을 의미한다.

성질편집

두 가측 함수

 
 

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

 

역시 가측 함수이다.

보렐 가측 함수편집

  보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.

  •    사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다.
  • 반대로, 루진의 정리에 따르면,  제2 가산 공간이며  라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수   의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다.

 가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.

  • 두 가측 함수  에 대하여,   는 가측 함수이다.
  • 가측 함수의 열  의 점별 극한은 가측 함수이다.
  • 모든 르베그 적분 가능 함수  는 가측 함수이다.

르베그 가측 함수편집

임의의 함수   에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 가측 함수이다.
  • 다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.
 

바나흐 공간 값 가측 함수편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 가측 공간  
  •  
  • (표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘)  -바나흐 공간  

그렇다면,   단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수  이다.

 
 
 
 

(여기서  지시 함수이다.)

이제, 함수  에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자.

  • (강가측 함수, 强可測函數, 영어: strongly measurable function) 단순 함수의 열의 점별 극한이다.
  • (약가측 함수, 弱可測函數, 영어: weakly measurable function) 임의의 연속 쌍대 공간 원소  에 대하여,  는 가측 함수이다.
  • (분해 가능 값 함수, 分解可能값函數, 영어: separably valued function)  분해 가능 부분 공간  가 존재한다.

이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, 페티스 가측성 정리(Pettis可測性定理, 영어: Pettis measurability theorem)에 따르면, 함수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:5, Theorem 1.1.6

  • 강가측 함수이다.
  • 약가측 함수이며, 분해 가능 값 함수이다.

특히, 만약  분해 가능 바나흐 공간일 경우,  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 강가측 함수이다.
  • 가측 함수이다.
  • 약가측 함수이다.

가측 공간    및 두  -바나흐 공간  ,  가 주어졌다고 하자. 만약  가 강가측 함수이며,  가 가측 함수라면,  는 강가측 함수이다.[1]:7, Corollary 1.1.11

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정의에 따르면 확률 변수확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약  가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수  는 가측 함수가 아니다.

강가측 함수가 아닌 가측 함수편집

분해 불가능  -바나흐 공간   위의 항등 함수

 

를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나  가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라  는 강가측 함수가 아니다.[1]:4, Example 1.1.5

가측 함수가 아닌 약가측 함수편집

실수의 셈측도 공간   위의 르베그 공간  를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자.

 
 

그렇다면,  는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의  에 대하여,

 

는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합  에 대하여,

 

열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상

 

는 가측 집합이 아니다.

참고 문헌편집

  1. Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). 《Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics (영어) 63. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-48520-1. ISBN 978-3-319-48519-5. ISSN 0071-1136. LCCN 2016955329. 
  • Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4. 

외부 링크편집