애트우드 기계

애트우드 기계(Atwood machine)는 1784년에 조지 애트우드가 등가속도 운동에서 뉴턴의 운동 법칙을 증명하기 위해 고안한 실험 장치이다. 고전역학의 기본적 원리를 설명하는 수업 자료로 종종 사용된다.

이상적인 애트우드 기계는 질량 $m_{1}$ , $m_{2}$ 인 물체 두 개를 질량과 신축성을 무시할 수 있는 줄로 연결하여 질량을 무시할 수 있는 도르래에 걸어놓은 형태이다.^[1]

$m_{1}$ ＝ $m_{2}$ 라면, 질량의 위치에 관계없이 기계는 역학적 평형을 이룬다.

$m_{1}$ ≠ $m_{2}$ 라면, 두 질량은 일정한 가속도로 운동하게 된다.

등가속도 방정식

애트우드 기계를 간략하게 표현한 자유물체도. 가속도 벡터상에서

m_{1}

이 아래로 운동하고

m_{2}

가 위로 운동하므로,

m_{1}

＞

m_{2}

라는 사실을 알 수 있다.

힘을 분석하여 가속도의 방정식을 유도할 수 있다.

줄의 질량과 신축성, 도르래의 질량을 무시할 수 있다고 할 때, 이 계에서 고려해야 하는 힘은 장력( $T$ ), 두 물체의 무게( $W_{1}$ 과 $W_{2}$ ) 뿐이다. 가속도를 알아내기 위해 두 물체에 각각 작용하는 힘을 밝힐 필요가 있다.

뉴턴 제2법칙을 사용하여( $m_{1}$ ＞ $m_{2}$ 라고 기호 약속한다) 가속도( $a$ )를 구하기 위한 연립 방정식을 세울 수 있다.

가속도 $a$ 는 $m_{1}$ 에서는 아래 방향이 양의 방향, $m_{2}$ 에서는 위 방향이 양의 방향이라고 약속하자. $m_{1}$ 과 $m_{2}$ 의 무게는 각각 $W_{1}=m_{1}g$ 와 $W_{2}=m_{2}g$ 로 나타난다.

m₁에 작용하는 힘은

\;m_{1}g-T=m_{1}a

m₂에 작용하는 힘은

\;T-m_{2}g=m_{2}a

위의 두 방정식을 통째로 더하면 다음 식을 얻는다.

\;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a

,

그러므로 가속도 식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

$a={m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}g$

역으로, 물체들의 운동 시간을 측정하여 등가속도 운동식 $d={1 \over 2}at^{2}$ 에 대입 계산함으로써 중력가속도 $g$ 를 구할 수도 있다.

라그랑주 역학에서 운동방정식을 유도할 때도 애트우드 기계가 사용되는 경우도 있다.^[2]

장력을 알아볼 때는, 앞에서 구한 가속도를 두 물체의 힘 방정식 중 어느 한 쪽에 대입하면 된다.

$a={m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}g$

예컨대 이것을 $m_{1}a=m_{1}g-T$ 에 대입하면,

$T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}$ 를 얻는다.

이와 같은 방법으로 장력을 얻을 수 있다.

$m_{1}$ 과 $m_{2}$ 의 질량 차 이가 매우 작다면, 반경 $r$ 인 도르래의 회전관성 $I$ 를 무시할 수 없다. 줄이 미끄러지지 않는 상황에서 도르래의 각가속도 $\alpha$ 는 다음과 같이 주어진다.

\alpha ={a \over r}

이때 알짜 회전력 $\tau _{net}$ 는 다음과 같다.

\tau _{net}=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha

매달린 물체들에 뉴턴 제2법칙을 적용한 것과 조합하면 다음과 같은 $a$ , $T_{1}$ , $T_{2}$ 를 얻는다.

가속도 $a$ 는

a={{(m_{1}-m_{2})-{\tau _{friction} \over rg}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}g

줄의 $m_{1}$ 에 가장 가까운 부분의 장력 $T_{1}$ 은

T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}

줄의 $m_{2}$ 에 가장 가까운 부분의 장력 $T_{2}$ 는

T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}

줄의 마찰을 무시한다면(하지만 도르래의 관성과 도르래에 걸친 줄의 변형력은 무시할 수 없다), 다음과 같이 방정식을 간략화할 수 있다.

가속도 $a$ 는

a={{(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}g

줄의 $m_{1}$ 에 가장 가까운 부분의 장력 $T_{1}$ 은

T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}

줄의 $m_{2}$ 에 가장 가까운 부분의 장력 $T_{2}$ 는

T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}

↑ Tipler, Paul A. (1991). 《Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version》. New York: Worth Publishers. ISBN 0-87901-432-6. Chapter 6, example 6-13, page 160.
↑ Goldstein, Herbert (1980). 《Classical Mechanics, second Edition》. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. ISBN 81-85015-53-8. Section 1-6, example 2, pages 26-27.

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