원시 재귀 함수

계산 가능성 이론에서 원시 재귀 함수(영어: primitive recursive function)은 원시 재귀합성 연산으로 정의되는 함수이다. 원시 재귀 함수의 클래스는 μ-재귀 함수의 클래스의 부분집합이며, μ-재귀 함수와는 달리 전역적(total)이다. 원시 재귀 함수의 클래스는 PR로 표기되며, 이는 R의 일부이다.

정의편집

원시 재귀 함수는 우선 자연수에서 자연수로의 함수, 즉 수론적 함수여야 한다. n개의 변수를 받는 이 함수를 n항 함수라 한다.

원시 재귀 함수는 기본적으로 다음 공리들로부터 주어진다:

1. 상수 함수: 0항 함수  은 원시 재귀 함수이다.
2. 따름수 함수: 1항 함수  는 인수의 따름수를 반환하는 함수로, 원시 재귀 함수이다. ( )
3. 사영 함수: 각 n≥1 과 각 1≤i≤n에 대하여, n항 함수  는 i번째 인수를 반환하는 함수로, 원시 재귀 함수이다.

다음 공리들로 주어지는 작용소(연산자)를 추가하여 더 복합적인 원시 재귀 함수를 얻을 수 있다:

4. 합성: k항 원시 재귀함수  , k개의 m항 원시 재귀함수들  가 주어졌을 때,   의 합성, 즉 m항 함수  는 원시 재귀 함수이다.
5. 원시 재귀: k항 원시 재귀함수  , (k+2)항 원시 재귀 함수  가 주어졌을 때, (k+1)항 함수    의 원시 재귀로 정의된다. 즉, 다음이 성립하면  는 원시 재귀 함수이다:
 
 

예시편집

μ-재귀 함수와의 연관편집

같이 보기편집