위너 확률 과정

(위너 과정에서 넘어옴)

확률 과정 이론에서, 위너 확률 과정(Wiener確率過程, 영어: Wiener stochastic process) 또는 위너 과정(Wiener過程)은 시간차 의 증분의 확률 분포가 평균 0, 분산 정규 분포를 이루며, 각 증분이 서로 독립이며, 그 궤적이 거의 확실하게 연속적인 연속 시간 확률 과정이다.

3차원 위너 과정

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

확률 과정

 

이 다음 조건들을 만족시킨다면, 위너 확률 과정(영어: Wiener stochastic process)이라고 한다.

  • 임의의   에 대하여, 확률 변수  확률 분포는 평균이 0이며 분산 정규 분포  이다.
  • (초기 조건)  . 즉, 거의 확실하게  이다.
  • 임의의  에 대하여,   는 서로 독립이다.
  •  . 즉,  거의 확실하게 연속 함수  를 이룬다. 다시 말해,
    • 임의의   및 임의의   및 임의의  에 대하여,  이 되게 하는 양의 실수  가 존재한다.

연산편집

 
1차원 위너 확률 과정의 자기 유사성

위너 확률 과정  이 주어졌을 때, 확률 과정

 

역시 위너 확률 과정을 이룬다. 즉, 그 그래프는 일종의 프랙털을 이룬다.

 유클리드 공간   값의 위너 확률 과정이라고 하자. 그렇다면, 임의의 부분 벡터 공간  에 대하여,   역시   값의 위너 확률 과정이다.

임의의 직교 행렬    값의 위너 확률 과정  에 대하여,   역시   값의 위너 확률 과정이다.

편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 임의의  에 대하여, 급수

 

는 ( 거리 위상에서) 수렴한다. (여기서  는 폐구간의 지시 함수이다.) 이는 위너 확률 과정의 정의를 거의 확실한 연속성만을 제외하고 모두 만족시킨다.

만약 정규 직교 기저

 

로 잡는다면, 위 급수가  에 대하여 균등 수렴하는 것을 보일 수 있으며, 이 경우 이 급수는 위너 확률 과정을 이룬다.

역사편집

노버트 위너의 이름을 땄다.

외부 링크편집