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독립 (확률론)

사건독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 둘 중 하나의 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나올 확률에 독립적이다.

정의편집

확률 공간   위의 사건들의 집합  에 대하여, 만약 모든 유한 집합  에 대하여

 

이라면,  가 서로 독립이라고 한다.

확률 공간   위의,  의 부분 시그마 대수들의 집합  이 다음 성질을 만족시킬 경우,  가 서로 독립이라고 한다.

  • 모든 유한 집합    ( )에 대하여,
 

사건의 집합  에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.

  •  는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
  •  는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서   를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

같은 확률공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합

 

에 대하여, 시그마 대수

 

를 정의할 수 있다. 만약  가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률변수의 집합  이 서로 독립이라고 한다.

성질편집

  가 같은 확률공간 위의 두 확률변수이며,  가 상수 변수 (즉, 공역이 자명한 시그마 대수를 갖춘 가측 공간)라면,  는 서로 독립이다.

외부 링크편집