일반화 힘 (generalized force )이란 라그랑주 역학 에서 도입된 개념으로, 외부에서 입자 i에 작용한 힘을 일반화 좌표 로 변환한 것을 의미한다.
n개의 입자 중, i번째 입자에 외부에서 작용한 힘을 Fi 라 하면, 이 때, 일반화 좌표 {q1 , q2 , …, qσ }에 대한 일반화 힘 Qσ 은 다음과 같이 정의된다.
Q
σ
=
∑
i
=
1
n
F
i
⋅
∂
r
i
∂
q
σ
{\displaystyle Q_{\sigma }=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}}
일반화 힘의 표현은 외부 힘에 대한 가상 일 을 통해 얻는다. n개의 입자로 이루어진 계 를 생각해보자. 이 때, 가상 일 δW는 외부 힘 F i 와 가상 변위 δr i 의 스칼라곱 으로 나타난다.[ 1] :265
δ
W
=
∑
i
=
1
n
F
i
⋅
δ
r
i
{\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}
여기서 δr i 는 다음과 같이 일반화 좌표에 대한 가상 변위 δqσ 를 써서 표현할 수 있다.
δ
r
i
=
∑
σ
∂
r
i
∂
q
σ
δ
q
σ
{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{\sigma }{\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}\delta q_{\sigma }}
이를 첫 번째 식에 대입하면, 가상 일을 일반화 좌표에 대한 가상 변위로 표현할 수 있는데,
δ
W
=
∑
σ
(
∑
i
=
1
n
F
i
⋅
∂
r
i
∂
q
σ
)
δ
q
σ
{\displaystyle \delta W=\sum _{\sigma }\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}\right)\delta q_{\sigma }}
여기서, 괄호안의 부분 Qσ
Q
σ
=
∑
i
F
i
⋅
∂
r
i
∂
q
σ
{\displaystyle Q_{\sigma }=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}}
를 일반화 힘이라 정의하고, 이에 대한 가상 일은
δ
W
=
∑
σ
Q
σ
δ
q
σ
{\displaystyle \delta W=\sum _{\sigma }Q_{\sigma }\delta q_{\sigma }\;}
이 되어 식이 원래 형태에서 변하지 않음을 알 수 있다.
여기서, qσ 에 거리를 넣으면 Qσ 의 차원 은 힘의 차원이 되고, qσ 에 각을 넣으면 Qσ 의 차원 은 돌림힘 의 차원이 됨을 알 수 있다.
↑ Torby, Bruce (1984). 〈Energy Methods〉. 《Advanced Dynamics for Engineers》. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4 .