임펄스벡터
임펄스벡터(impulse vector, 일명 강벡터 Kang vector)는 잔류진동(residual vibration)을 제거하는 입력성형기(input shaper)를 도해적으로 설계하거나 해석할 때 사용할 수 있는 수학적 도구이다. 임펄스벡터는 비감쇠시스템(undamped system)과 부족감쇠시스템(underdamped system) 모두에 대해 사용할 수 있을 뿐 아니라, 양의 임펄스(positive impulse)와 음의 임펄스(negative impulse)에 대해 동일한 방법으로 적용할 수 있다.[1] 임펄스벡터를 사용하면 입력성형기의 임펄스시간(impulse time)과 임펄스크기(impulse magnitude)를 도해적으로 쉽게 구할 수 있다.
입력성형에 대한 벡터 개념은 양의 임펄스를 가진 비감쇠시스템에 대해 W. Singhose[2]가 처음 제안하였다. 강철구(C.-G. Kang)[1]는 이 Singhose의 벡터 개념을 일반화하여, 비감쇠시스템과 부족감쇠시스템, 그리고 양의 임펄스와 음의 임펄스에 적용할 수 있는 임펄스벡터를 제안하였다.
임펄스벡터의 정의
편집비감쇠 고유진동수(undamped natural frequency)가 , 감쇠비(damping ratio)가 인 이차시스템에 대해, 임펄스함수 에 해당하는 임펄스벡터 (혹은 강벡터) 의 크기 와 각도 는 2차원 극좌표계에서 다음과 같이 정의된다.
여기서 는 임펄스함수의 크기를, 는 임펄스함수의 시간위치를 나타내고, 는 감쇠고유진동수(damped natural frequency) 을 의미한다. 인 양의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 시점이 극좌표계의 원점에 위치하고, 반면에 인 음의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 종점이 극좌표계의 원점에 위치한다.[1] □
이 정의에서 임펄스벡터의 크기 는 에 시간 동안 감쇠영향을 곱한 것으로서, 감쇠되기 전 의 크기를 나타낸다. 각도 는 임펄스시간 에 감쇠고유진동수 를 곱한 값이다. 는 시간 에 작용하는 디락델타함수(Dirac delta function)를 나타낸다. 참고로, 임펄스함수는 순수한 수학적 양인데 비해, 임펄스벡터는 수학적 임펄스함수에 추가적으로 물리량인 과 를 내포하고 있다. 두개 이상의 임펄스벡터를 하나의 극좌표계에 표시한 것을 임펄스벡터선도(impulse vector diagram)라고 한다. 임펄스벡터선도는 임펄스열(impulse sequence)을 도해적으로 나타낸 것이라고 볼 수 있다.
오른쪽 그림과 같은 두 임펄스벡터 과 를 고려해보자. 임펄스벡터 은 양의 임펄스 에 해당하는 크기 과 각도 을 가지고 있고, 임펄스벡터 는 음의 임펄스 에 해당하는 크기 과 각도 를 가지고 있을 때, 과 에 상응하는 두 시간응답은 마지막 임펄스시간 이후에 정확히 일치하므로, 벡터 더하기나 빼기에서 두 임펄스벡터 과 는 동일한 벡터로 간주된다. 임펄스벡터는 교환법칙, 결합법칙, 스칼라곱에 대한 분배법칙을 만족한다.
임펄스벡터의 크기는 임펄스크기를 결정하고, 임펄스벡터의 각도는 임펄스시간을 결정한다. 임펄스벡터선도에서 1회전에 해당하는 각도 는 상응하는 임펄스응답의 1주기(감쇠주기)에 해당한다.
비감쇠시스템( )이면 임펄스벡터의 크기와 각도는 와 로 표현된다.
임펄스벡터의 성질
편집성질 1. 두 임펄스벡터의 합벡터
편집두 임펄스벡터의 합벡터에 상응하는 이차시스템의 임펄스응답(impulse response)은 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 두 임펄스벡터에 상응하는 두 임펄스입력을 가진 이차시스템의 응답과 최종 임펄스시간 이후에 동일하다. □
성질 2. 임펄스벡터의 합이 0인 경우
편집임펄스벡터들의 합벡터가 0이면, 상응하는 임펄스열을 입력으로 가진 이차시스템의 시간응답은, 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 마지막 임펄스시간 이후에 0이다. □
전달함수(transfer function)가 인 부족감쇠 이차시스템을 생각해보자. 이 시스템의 고유진동수는 rad/s이고 감쇠비는 이다. 그림과 같은 두 임펄스벡터 과 에 대해 합벡터는 과 의 두가지로 표현될 수 있다. 합벡터 은 크기가 이고 시간이 인 음의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이고, 는 크기가 이고 시간이 인 양의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이다.
합벡터 과 는 다음과 구해질 수 있다.
참고로 이다. 과 에 상응하는 임펄스응답 과 는, 오른쪽 그림 (b)의 녹색선에서 보듯이, 각각의 임펄스시간 이후에 와 정확히 일치한다.
이제 합벡터를 0으로 만들기 위해 에 세번째 임펄스벡터 을 그림과 같이 추가해보자. 임펄스벡터 은 다음과 같이 구해질 수 있다.
임펄스벡터 에 상응하는 임펄스열을 이차시스템에 입력으로 가하면, 오른쪽 시간응답 (b)의 빨간선에서 보듯이, 마지막 임펄스시간 이후에 잔류진동이 사라진다. 물론 합벡터를 0으로 만드는 임펄스벡터 도 존재할 수 있다. 은 과 크기는 같으나 각도가 만큼 더 커서, 상응하는 시간응답은 반주기 더 지나서 잔류진동을 제거한다.
적용: 임펄스벡터를 이용한 입력성형기 설계
편집ZVDn 성형기
편집임펄스벡터를 사용하면, 잘 알려진 기존의 ZV 성형기(zero vibration shaper), ZVD 성형기(zero vibration and derivative shaper), ZVDn 성형기 등[3]을 쉽게 재설계할 수 있다.[1]
ZV 성형기는 두개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 첫번째 임펄스벡터는 0°에, 두번째 임펄스벡터는, 합벡터 이 되도록, 180°에 위치시킨다. 그러면 다음 식이 성립한다.
그리고 정규화조건 이 만족되어야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
따라서 ZV 성형기 는 다음과 같이 주어진다.
ZVD 성형기는 세개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 벡터합이 이 되도록 첫번째 임펄스벡터는 0 rad에, 두번째 임펄스벡터는 rad에, 세번째 임펄스벡터는 rad에 두되, 크기비를 로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
그리고 이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
따라서 ZVD 성형기 는 다음과 같이 주어진다.
ZVD2 성형기는 4개의 임펄스벡터로 구성된다. 벡터합이 이 되도록, 은 0 rad에, 는 rad에, 은 rad에, 는 rad에 두되, 크기비를 로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
그리고 이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
따라서 ZVD2 성형기 는 다음과 같이 주어진다.
같은 방법으로, ZVD3 성형기는 5개의 임펄스벡터로 구성되는데, 이 임펄스벡터를 0, , , , rad에 배치하고, 크기비를 로 둠으로써 구할 수 있다.
일반적으로, ZVDn 성형기는 개의 임펄스벡터로 구성되는데, 번째 임펄스벡터를 rad에 배치하고, 크기비를 로 둠으로써 구할 수 있다. 여기서 는 수학의 조합을 의미한다.
ETM 성형기
편집이제 임펄스벡터의 크기는 같고 임펄스벡터의 각도는 rad을 등간격으로 나눈 ETM 성형기(Equal shaping-Time and Magnitudes shaper)[1]를 생각해보자. ETMn 성형기는 다음 조건을 만족한다.
그러면 에 대해 ETMn 성형기의 임펄스벡터합은 항상 0이다. ETMn 성형기의 한 장점은, ZVDn 성형기나 EI 성형기(extra insensitive shaper)[4]와 달리, 이 아무리 늘어나더라도 성형시간(shaping time)은 항상 한 주기(감쇠주기)라는 것이다.
4개의 임펄스벡터로 구성된 ETM4 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 구해진다.
5개의 임펄스벡터로 구성된 ETM5 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 얻어진다.
같은 방법으로, 에 대한 ETMn 성형기를 쉽게 구할 수 있다. 일반적으로 ETM 성형기는 양의 큰 모델링오차에 대해 ZVDn 성형기보다 더 큰 견실성(robustness)을 갖는 이점이 있다.
참고로, ZVD 성형기는 인 ETM3 성형기이다.
NMe 성형기
편집임펄스벡터는 음의 임펄스를 가진 입력성형기를 설계할 때도 사용될 수 있다. 세 임펄스벡터의 크기가 이고 각도가 인 NMe 성형기(Negative equal-Magnitude shaper)[1]를 생각해보자. 이 세 임펄스벡터의 합은 0이므로 잔류진동은 제거된다. NMe 성형기의 임펄스시간은 로 주어지고, 임펄스크기 는 다음 연립방정식으로부터 얻어진다.
얻어진 NMe 성형기 은 다음과 같다.
NMe 성형기는 ZVD 성형기보다 더 짧은 성형시간을 갖는 장점이 있지만, 모델링오차에 대해 더 나쁜 견실성을 갖는 단점이 있다. 참고로, 비감쇠시스템( )이면 NMe 성형기는 기존에 알려진 UM성형기(unity-magnitude shaper)[5]가 된다.
아래 그림 (a)는 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도를 보여주고 있고, 그림 (b)는 여러 가지 입력성형기의 잔류진동 제거성능을 나타내는 계단응답을 보여주고 있다.
입력성형기에서 과 의 모델링오차에 대한 견실성은 민감도곡선(sensitivity curve)으로 표현된다. 위 여러 가지 입력성형기에 대한 민감도곡선은 참고 문헌[1]을 참고하기 바란다.
참고 문헌
편집- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 Kang, Chul-Goo (August 2019). “Impulse vectors for input shaping control: A mathematical tool to design and analyze input shapers” (PDF). 《IEEE Control Systems Magazine》 39 (4): 40–55. doi:10.1109/MCS.2019.2913610. S2CID 198145461.[깨진 링크(과거 내용 찾기)]
- ↑ Singhose, W.; Seering, W.; Singer, N. (1994). “Residual vibration reduction using vector diagrams to generate shaped inputs”. 《Journal of Mechanical Design》 116 (2): 654–659. doi:10.1115/1.2919428.
- ↑ Singhose, W. (2009). “Command shaping for flexible systems: A review of the first 50 years”. 《International Journal of Precision Engineering and Manufacturing》 10 (4): 153–168. doi:10.1007/s12541-009-0084-2. S2CID 111341954.
- ↑ Singhose, W.; Derezinski, S.; Singer, N. (1996). “Extra-insensitive input shapers for controlling flexible spacecraft”. 《Journal of Guidance, Control and Dynamics》 19 (2): 385–391. Bibcode:1996JGCD...19..385S. doi:10.2514/3.21630.
- ↑ Singhose, W. E.; Seering, W. P.; Singer, N. C. (1997). “Time-optimal negative input shapers”. 《Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control》 119 (2): 198–205. doi:10.1115/1.2801233.