자리스키 접공간

대수기하학에서 자리스키 접공간(Zariski tangent space)은 미분기하학에서의 접공간의 개념을 대수다양체와 스킴에 대하여 일반화한 개념이다.

정의

$R$이 가환 국소환이라고 하자. 국소환은 유일한 극대 아이디얼 $m$을 가지고, 또한 $k=R/m$은 체를 이룬다. $m$은 아벨 군이고, 그 제곱 $m^{2}$도 아벨 군이므로, 몫군 $m/m^{2}$를 정의할 수 있다. 이는 $k$에 대한 벡터 공간임을 보일 수 있다. 국소환 $R$의 공변접공간(cotangent space) $T_{R}^{*}$은 $k$-벡터 공간 $T_{R}^{*}=m/m^{2}$이다. $R$의 접공간(tangent space)은 공변접공간의 쌍대 공간 $T_{R}=\hom(T_{R}^{*},k)$이다.

$X$가 국소환 달린 공간이라고 하자. 국소환 달린 공간의 줄기(stalk)는 국소환이다. $x\in X$에서의 접공간 $T_{X,x}$는 $x$에서의 줄기의 접공간이다. 대수다양체와 스킴은 모두 국소환 달린 공간의 일종이므로, 그 접공간은 국소환 달린 공간으로서의 접공간이다.

역사

오스카 자리스키가 1947년 도입하였다.

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크

• “Zariski tangent space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.