전치행렬
선형대수학에서 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 , , , , .
정의편집
행렬 의 전치 행렬 은 다음과 같은 행렬이다.
선형 변환 의 전치 선형 변환(영어: transposed linear map) 은 다음과 같다.
성질편집
전치 행렬편집
행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, 행렬 및 스칼라 에 대하여,
가 성립하며, 행렬 및 행렬 에 대하여,
가 성립한다.
서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다.
증명:
특히, 행렬 과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.
행렬 을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]
전치 선형 변환편집
선형 변환 에 대하여, 다음이 성립한다.
증명:
만약 와 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.
증명:
만약 라면, 인 가 존재한다. 임의의 에 대하여,
이므로, 이다. 또한,
이므로, 이다.
만약 와 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 의 기저 및 에 대한 행렬이 이라고 하면, 전치 선형 변환 의 쌍대 기저 및 에 대한 행렬은 이다.
증명:
두 기저를 다음과 같이 쓰자.
또한 의 에 대한 행렬을 , 의 에 대한 행렬을 이라고 하자. 그렇다면,
이므로, 이다.
예편집
전치 행렬의 예는 다음과 같다.
같이 보기편집
각주편집
- ↑ Golyshev, Vasily; Stienstra, Jan (2007년 1월 31일). “Fuchsian equations of type DN” (영어). arXiv:math/0701936.
참고 문헌편집
- Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.
외부 링크편집
- “Transposed matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Transpose”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Transpose matrix”. 《nLab》 (영어).
- “Transpose”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Definition:Transpose of matrix”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition:Transpose of Linear Transformation”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Rank and nullity of transpose”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Transpose of matrix product”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Determinant of transpose”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Transpose of linear transformation is a linear transformation”. 《ProofWiki》 (영어).