전치행렬

선형대수학에서, 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 $A^{\operatorname {T} }$, $A^{\top }$, $^{\operatorname {t} }A$, $A'$, $A^{\operatorname {tr} }$.

어떤 행렬의 전치 행렬은 그 행렬을 주대각선을 기준으로 하여 뒤집어 얻을 수 있다. 똑같은 방법으로 한 번 더 뒤집으면 원래 행렬로 돌아온다.

정의

$m\times n$ 행렬 $M$의 전치 행렬 $M^{\operatorname {T} }$은 다음과 같은 $n\times m$ 행렬이다.

$M_{ij}^{\operatorname {T} }=M_{ji}$

선형 변환 $T\colon V\to W$의 전치 선형 변환(영어: transposed linear map) $T^{\operatorname {T} }\colon W^{*}\to V^{*}$은 다음과 같다.

$(T^{\operatorname {T} }g)(v)=gTv\qquad \forall g\in W^{*},\;v\in V$

성질

전치 행렬

행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, $m\times n$ 행렬 $M,N$ 및 스칼라 $c$에 대하여,

$(M+N)^{\operatorname {T} }=M^{\operatorname {T} }+N^{\operatorname {T} }$

$(cM)^{\operatorname {T} }=cM^{\operatorname {T} }$

$M^{\operatorname {T} \operatorname {T} }=M$

가 성립하며, $m\times n$ 행렬 $M$ 및 $n\times p$ 행렬 $N$에 대하여,

$(MN)^{\operatorname {T} }=N^{\operatorname {T} }M^{\operatorname {T} }$

가 성립한다.

서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다.

$\operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} M$

증명:

${\begin{aligned}\operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }&=m-\dim \ker M^{\operatorname {T} }\\&=m-\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}^{\circ }\\&=\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}\\&=\operatorname {rank} M\end{aligned}}$

$\operatorname {tr} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {tr} M$

$\det M^{\operatorname {T} }=\det M$

특히, $n\times n$ 행렬 $M$과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

$(M^{\operatorname {T} })^{-1}=(M^{-1})^{\operatorname {T} }$

행렬 $M$을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$JM^{\operatorname {T} }J\qquad (J_{ij}=\delta _{n+1-i,j})$

전치 선형 변환

선형 변환 $T\colon V\to W$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\ker T^{\operatorname {T} }=T(V)^{\circ }$

증명:

${\begin{aligned}\ker T^{\operatorname {T} }&=\{g\in W^{*}\colon T^{\operatorname {T} }g=0\}\\&=\{g\in W^{*}\colon gTv=0\forall v\in V\}\\&=\{g\in W^{*}\colon gw=0\forall w\in T(V)\}\\&=T(V)^{\circ }\end{aligned}}$

만약 $V$와 $W$가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

$T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ }$

증명:

만약 $f\in T^{\operatorname {T} }(W^{*})$라면, $f=T^{\operatorname {T} }g$인 $g\in W^{*}$가 존재한다. 임의의 $v\in \ker T$에 대하여,

$f(v)=gTv=g0=0$

이므로, $T^{\operatorname {T} }(W^{*})\subseteq (\ker T)^{\circ }$이다. 또한,

$\dim(\ker T)^{\circ }=\dim V-\dim \ker T=\operatorname {rank} T=\operatorname {rank} T^{\operatorname {T} }$

이므로, $T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ }$이다.

만약 $V$와 $W$가 유한 차원 벡터 공간일 경우, $T\colon V\to W$의 기저 $B\subseteq V$ 및 $B'\subseteq W$에 대한 행렬이 $M$이라고 하면, 전치 선형 변환 $T^{\operatorname {T} }$의 쌍대 기저 ${B'}^{*}\subseteq W^{*}$및 $B^{*}\subseteq V^{*}$에 대한 행렬은 $M^{\operatorname {T} }$이다.

증명:

두 기저를 다음과 같이 쓰자.

$B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$

$B'=\{e_{1}',\dots ,e_{n}'\}$

또한 $T$의 $B,B'$에 대한 행렬을 $M$, $T^{\operatorname {T} }$의 ${B'}^{*},B^{*}$에 대한 행렬을 $N$이라고 하자. 그렇다면,

$M_{ij}=e_{i}^{*}Te_{j}=(T^{\operatorname {T} }e_{i}^{*})(e_{j})=N_{ji}$

이므로, $N=M^{\operatorname {T} }$이다.

예

전치 행렬의 예는 다음과 같다.

• ${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
• ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}$
• ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}$
• 여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.

참고 문헌

• Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크

• “Transposed matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transpose”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Transpose matrix”. 《nLab》 (영어). 
• “Transpose”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Transpose of matrix”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Transpose of Linear Transformation”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Rank and nullity of transpose”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Transpose of matrix product”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Determinant of transpose”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Transpose of linear transformation is a linear transformation”. 《ProofWiki》 (영어).