전치행렬

어떤 행렬의 전치 행렬은 그 행렬을 주대각선을 기준으로 하여 뒤집어 얻을 수 있다. 똑같은 방법으로 한 번 더 뒤집으면 원래 행렬로 돌아온다.

선형대수학에서, 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 $A^{\operatorname {T} }$ , $A^{\top }$ , $^{\operatorname {t} }A$ , $A'$ , $A^{\operatorname {tr} }$ .

정의편집

$m\times n$ 행렬 $M$ 의 전치 행렬 $M^{\operatorname {T} }$ 은 다음과 같은 $n\times m$ 행렬이다.

M_{ij}^{\operatorname {T} }=M_{ji}

선형 변환 $T\colon V\to W$ 의 전치 선형 변환(영어: transposed linear map) $T^{\operatorname {T} }\colon W^{*}\to V^{*}$ 은 다음과 같다.

(T^{\operatorname {T} }g)(v)=gTv\qquad \forall g\in W^{*},\;v\in V

성질편집

전치 행렬편집

행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, $m\times n$ 행렬 $M,N$ 및 스칼라 $c$ 에 대하여,

(M+N)^{\operatorname {T} }=M^{\operatorname {T} }+N^{\operatorname {T} }

(cM)^{\operatorname {T} }=cM^{\operatorname {T} }

M^{\operatorname {T} \operatorname {T} }=M

가 성립하며, $m\times n$ 행렬 $M$ 및 $n\times p$ 행렬 $N$ 에 대하여,

(MN)^{\operatorname {T} }=N^{\operatorname {T} }M^{\operatorname {T} }

가 성립한다.

서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다.

\operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} M

증명:

{\begin{aligned}\operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }&=m-\dim \ker M^{\operatorname {T} }\\&=m-\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}^{\circ }\\&=\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}\\&=\operatorname {rank} M\end{aligned}}

\operatorname {tr} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {tr} M

\det M^{\operatorname {T} }=\det M

특히, $n\times n$ 행렬 $M$ 과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

(M^{\operatorname {T} })^{-1}=(M^{-1})^{\operatorname {T} }

행렬 $M$ 을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

JM^{\operatorname {T} }J\qquad (J_{ij}=\delta _{n+1-i,j})

전치 선형 변환편집

선형 변환 $T\colon V\to W$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

\ker T^{\operatorname {T} }=T(V)^{\circ }

증명:

{\begin{aligned}\ker T^{\operatorname {T} }&=\{g\in W^{*}\colon T^{\operatorname {T} }g=0\}\\&=\{g\in W^{*}\colon gTv=0\forall v\in V\}\\&=\{g\in W^{*}\colon gw=0\forall w\in T(V)\}\\&=T(V)^{\circ }\end{aligned}}

만약 $V$ 와 $W$ 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ }

증명:

만약 $f\in T^{\operatorname {T} }(W^{*})$ 라면, $f=T^{\operatorname {T} }g$ 인 $g\in W^{*}$ 가 존재한다. 임의의 $v\in \ker T$ 에 대하여,

f(v)=gTv=g0=0

이므로, $T^{\operatorname {T} }(W^{*})\subseteq (\ker T)^{\circ }$ 이다. 또한,

\dim(\ker T)^{\circ }=\dim V-\dim \ker T=\operatorname {rank} T=\operatorname {rank} T^{\operatorname {T} }

이므로, $T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ }$ 이다.

만약 $V$ 와 $W$ 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, $T\colon V\to W$ 의 기저 $B\subseteq V$ 및 $B'\subseteq W$ 에 대한 행렬이 $M$ 이라고 하면, 전치 선형 변환 $T^{\operatorname {T} }$ 의 쌍대 기저 ${B'}^{*}\subseteq W^{*}$ 및 $B^{*}\subseteq V^{*}$ 에 대한 행렬은 $M^{\operatorname {T} }$ 이다.

증명:

두 기저를 다음과 같이 쓰자.

B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}

B'=\{e_{1}',\dots ,e_{n}'\}

또한 $T$ 의 $B,B'$ 에 대한 행렬을 $M$ , $T^{\operatorname {T} }$ 의 ${B'}^{*},B^{*}$ 에 대한 행렬을 $N$ 이라고 하자. 그렇다면,

M_{ij}=e_{i}^{*}Te_{j}=(T^{\operatorname {T} }e_{i}^{*})(e_{j})=N_{ji}

이므로, $N=M^{\operatorname {T} }$ 이다.

예편집

전치 행렬의 예는 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}$
여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.