정사각형 안에 원 채우기

정사각형 안에 원 채우기는 유희 수학의 채우기 문제이다. 목표는 단위원 n개를 가장 작은 정사각형에 채우는 것, 또는 n개의 점을 단위 정사각형에 최소거리 d_n가 최대가 되도록하는 것이다. 이 두 문제를 변환하려면 단위 원이 있는 정사각형의 한 변의 길이는 $L=2+{\frac {2}{d_{n}}}$이 된다.

해(반드시 최적은 아님)는 N≤10,000에 대해서 모두 계산되었다. N=20 까지의 해를 아래에 나타냈다.:

원의  개수 (n)	정사각형 크기(한 변의 길이(L))	dn	개수 밀도(n/L^2)	그림
1	2	∞	0.25
2	$2+{\sqrt {2}}$ ≈ 3.414...	${\sqrt {2}}$ ≈ 1.414...	0.172...
3	$2+{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {6}}{2}}$ ≈ 3.931...	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$ ≈ 1.035...	0.194...
4	4	1	0.25
5	$2+2{\sqrt {2}}$ ≈ 4.828...	${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ ≈ 0.707...	0.215...
6	$2+{\frac {12}{\sqrt {13}}}$ ≈ 5.328...	${\frac {1}{6}}{\sqrt {13}}$ ≈ 0.601...	0.211...
7	$4+{\sqrt {3}}$ ≈ 5.732...	$4-2{\sqrt {3}}$ ≈ 0.536...	0.213...
8	$2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 5.863...	${\frac {1}{2}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$ ≈ 0.518...	0.233...
9	6	0.5	0.25
10	6.747...	0.421...	0.220...
11	7.022...	0.398...	0.223...
12	$2+15{\sqrt {\frac {2}{17}}}$ ≈ 7.144...	0.389...	0.235...
13	7.463...	0.366...	0.233...
14	$6+{\sqrt {3}}$ ≈ 7.732...	0.348...	0.226...
15	$4+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ ≈ 7.863...	0.341...	0.243...
16	8	0.333...	0.25
17	8.532...	0.306...	0.234...
18	$2+{\frac {24}{\sqrt {13}}}$ ≈ 8.656...	0.300...	0.240...
19	8.907...	0.290...	0.240...
20	${\frac {130}{17}}+{\frac {16}{17}}{\sqrt {2}}$ ≈ 8.978...	0.287...	0.248...