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단위원(單位圓)은 반지름이 1인 원이다. 특별히 해석기하학에서는 원점 을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다.

많은 경우 단위원은 으로 표시한다. 이것은 일반적인 차원 구면(sphere) 개념 중 의 경우를 뜻한다.

단위원 위의 임의의 한 점의 삼각매개화편집

단위원 위의 임의의 점  극좌표를 이용하여 나타내는 경우,   ( : 점  와 원점을 이은 반직선   축이 이루는 각,    )으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는  로 나타낼 수 있다.

 에 의해 만들어지는 직각삼각형

 에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면  으로 나타낼 수 있다.

단위원의 경우, 원점으로부터의 거리  이므로  로 정리할 수 있다.

이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리( )'와 ' 축의 양의 방향과 이루는 각도( )'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.

단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화편집

단위원 위의 임의의 한 점  를 유리매개화 하기 위해, 기울기가  ( : 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인  을 지나는 직선  을 생각한다. 이 경우, 직선  은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는  , 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점  가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선  의 방정식을 연립하여 점  의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수  에 대해 원 위의 모든 점(단,  은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.

 
단위원의 원의 방정식:  
직선 의 직선의 방정식:  

직선 의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수  를 소거하면  에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.

 
 
 

얻어낸  의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점   좌표가 된다.

 
  또는  

따라서, 점   좌표는  이다.  좌표를 직선  의 방정식에 대입하여  좌표도 찾아, 점  의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.

단위원과 직선 의 교점:  .

이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단,  제외,   로 발산하는 경우 점   로 수렴한다)를 임의의 실수  에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.

참고) 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선  의 교점의 개수를 구할 수 있다.

예를 들어,   라 하자. 단,  는 단위원  는 임의의 곡선이며  의 차수는  이라 하자.

결론부터 말하자면,   의 교점의 개수는 많아야  개 이하이다.

우선, 두 곡선   의 교점  는 단위원의 유리매개화를 통해  을 제외한 모든 점에서 아래와 같이 유리매개화할 수 있다.

 

이 때,  로 놓을 수 있고  이다.

여기서  을 만족하는  의 개수가 교점의 개수이다.

따라서 우리가 알고 싶은 것은  의 차수(degree)이므로,  에 대해 정리한 각 항의 일반적인 형태는 다음과 같다.

 ij    ij 

(단,  ij는 각 항의 계수이며, i+j<n 이다.)

그리고 위 식 우변에  i+j을 곱하면,

 ij 

그러므로 차수( )를 생각하면 다음과 같다.

 
 

따라서  의 차수가  보다 작으므로 단위원과 임의의 곡선  의 교점의 개수는 많아야  개 이하이다.

복소평면의 단위원편집

복소평면상의 단위원은 절댓값이 1 인 복소수의 자취

{zC | |z| = 1} = {exp(iθ) | 0 ≤ θ < 2π}

가 된다 (exp 는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 (群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1차원의 유니타리 군으로 불리는 리 군이며 U(1)라고 표시한다.


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