확률 과정 이론에서, 정지 시간 (停止時間, 영어 : stopping time 스토핑 타임[* ] ) 또는 마르코프 순간 (Марков瞬間, 영어 : Markov moment [1] )은 어떤 여과 확률 공간 과 호환되는 성질을 갖는, 지표 집합의 원소(‘시각’)의 값을 갖는 확률 변수 이다. 대략, 정지 시간이 ‘지났는지’ 여부는 (여과 확률 공간 에 의하여 주어진) 이 시간 이전에 알려진 정보만으로 확인할 수 있어야 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
상계
∞
∈
T
{\displaystyle \infty \in T}
를 갖는 전순서 집합
(
T
,
≤
)
{\displaystyle (T,\leq )}
여과 확률 공간
(
Ω
,
F
t
,
Pr
)
t
∈
T
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in T}}
이 데이터의 정지 시간 은 다음 조건을 만족시키는 함수
τ
:
Ω
→
T
{\displaystyle \tau \colon \Omega \to T}
이다.
∀
t
∈
T
:
{
ω
∈
Ω
:
τ
(
ω
)
≤
t
}
∈
F
t
{\displaystyle \forall t\in T\colon \{\omega \in \Omega \colon \tau (\omega )\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}
다시 말해,
τ
≤
t
{\displaystyle \tau \leq t}
인 사건이 발생하였는지 여부는 시각
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
에서 알려진 정보
F
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}
만으로 확인할 수 있어야 한다.
정의에 따라,
T
{\displaystyle T}
에 순서 위상 의 보렐 가측 공간 구조를 부여하면, 이는 확률 변수
τ
:
(
Ω
,
F
∞
,
Pr
)
→
T
{\displaystyle \tau \colon (\Omega ,{\mathcal {F}}_{\infty },\Pr )\to T}
를 정의한다.
확률 과정 의 정지 시간이란 그 자연 여과 확률 공간 에 대한 정지 시간을 뜻한다.
다음이 주어졌다고 하자.
상계
∞
∈
T
{\displaystyle \infty \in T}
를 갖는 전순서 집합
(
T
,
≤
)
{\displaystyle (T,\leq )}
여과 확률 공간
(
Ω
,
F
t
,
Pr
)
t
∈
T
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in T}}
(
F
t
)
t
∈
T
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}
-정지 시간
τ
:
Ω
→
T
{\displaystyle \tau \colon \Omega \to T}
가측 공간
S
{\displaystyle S}
(
F
t
)
t
∈
T
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}
-순응 확률 과정
(
X
t
:
Ω
→
S
)
t
∈
T
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}}
그렇다면,
X
{\displaystyle X}
의
τ
{\displaystyle \tau }
에 대한 정지 과정 (停止過程, 영어 : stopped process )은 다음과 같은 순응 확률 과정 이다.
X
t
τ
:
Ω
→
S
{\displaystyle X_{t}^{\tau }\colon \Omega \to S}
X
t
τ
:
ω
↦
X
min
{
t
,
τ
(
ω
)
}
(
ω
)
=
{
X
t
t
≤
τ
(
ω
)
X
τ
(
ω
)
t
≥
τ
(
ω
)
{\displaystyle X_{t}^{\tau }\colon \omega \mapsto X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega )={\begin{cases}X_{t}&t\leq \tau (\omega )\\X_{\tau (\omega )}&t\geq \tau (\omega )\\\end{cases}}}
이는 흔히
X
t
τ
=
X
min
{
t
,
τ
}
{\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min\{t,\tau \}}}
와 같이 표기된다.