주곡률

미분기하학에서 주곡률(主曲率, 영어: principal curvature)은 곡면이 각 방향에 따라 굽은 정도를 나타내는 값들이며, 제2 기본 형식고윳값들이다.

정의편집

d+1차원 리만 다양체   속에 여차원이 1인 부분다양체  매장돼 있다고 하자. 그렇다면,  제2 기본 형식  제1 기본 형식  를 사용해 다음과 같은 (1,1)-텐서를 정의할 수 있다.

 

이 텐서를 모양 연산자(영어: shape operator)라고 한다.  주곡률은 그 모양 연산자의 고윳값들이다. 즉, 주곡률  는 다음을 만족시킨다.

 

모양 연산자의 행렬식, 즉 주곡률들의 곱을 가우스 곡률  라고 하고, 대각합의 1/d, 즉 주곡률들의 평균을 평균 곡률(영어: mean curvature)  라고 한다.

 
 

분류편집

여차원이 1인 부분다양체  의 점  는 모양 연산자의 계량 부호수에 따라 분류된다.

  • 타원점(영어: elliptic point)에서는 모양 연산자가 양의 정부호이다. 즉, 모든 주곡률들이 양수이다.
    • 배꼽점(영어: umbilic point)에서는 모든 주곡률들이 같으며 양수이다. 이 점에서 곡면은 국소적으로 구면처럼 보인다.
  • 포물점(영어: parabolic point)에서는 모든 주곡률들이 양수이거나 0이고, 적어도 한 주곡률이 0이다.
  • 쌍곡점(영어: hyperbolic point)에서는 적어도 한 주곡률이 음수이다.

참고 문헌편집

외부 링크편집