계수-퇴화차수 정리

선형대수학에서 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity theorem)는 행렬의 상과 핵의 차원의 관계에 대한 정리이다.

계수-퇴화차수 정리의 시각적 표현

정의

선형 변환 $T\colon V\to W$의 정의역 $V$가 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음의 계수-퇴화차수 정리가 성립한다.

$\dim \operatorname {im} T+\dim \ker T=\dim V$

여기서 $\dim$은 차원이며, $\operatorname {im} T$는 $T$의 상이며, $\ker T$는 $T$의 핵이다. 상의 차원을 계수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

$\operatorname {rank} T=\dim \operatorname {im} T$

핵의 차원을 퇴화차수라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.

$\operatorname {nul} T=\dim \ker T$

그렇다면, 계수-퇴화차수 정리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.^:71

$\operatorname {rank} T+\operatorname {nul} T=\dim V$

증명

사실, 계수-퇴화차수 정리는 벡터 공간의 제1 동형 정리

$V/\ker T\cong \operatorname {im} T$

의 자명한 따름정리이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.^:71 $\dim V=n$이라고 하자. $\ker T$의 기저 $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}$($r\leq n$)를 취한 뒤, 이를 확장하여 $V$의 기저 $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r},v_{r+1},\dots ,v_{n}\}$을 만들자. 정리를 증명하려면, $\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}$이 $\operatorname {im} T$의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다.

• $\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}$은 선형 독립이다.
  • 증명: $\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}Tv_{j}=0$이며 $a_{r+1},a_{r+2},\dots ,a_{n}\in K$라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 $T\left(\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}\right)=0$이며, $\ker T$의 정의에 따라 $\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}\in \ker T$이다. $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}$가 $\ker T$의 기저이므로, $\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}v_{k}$인 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{r}\in K$가 존재한다. 따라서, $\sum _{k=1}^{r}a_{k}v_{k}-\sum _{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}=0$인데, $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$이 $V$의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 $a_{1}=a_{2}=\dots =a_{n}=0$이며, 특히 $a_{r+1}=a_{r+2}=\cdots =a_{n}=0$이다.
• $\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}$은 $\operatorname {im} T$를 선형 생성한다.
  • 증명: $w\in \operatorname {im} T$라고 하자. 그렇다면, $\operatorname {im} T$의 정의에 따라 $w=Tv$인 $v\in V$가 존재한다. 이 $v$는 기저 $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\}$의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, $v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i}$인 $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in K$가 존재한다. 따라서 $w=Tv=\sum _{i=1}^{n}b_{i}Tv_{i}$인데, $v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\in \ker T$이므로, $Tv_{1}=Tv_{2}=\cdots =Tv_{r}=0$이다. 즉, $w=\sum _{i=r+1}^{n}b_{i}Tv_{i}$이다. 즉, 임의의 $w\in \operatorname {im} T$는 $\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}$의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

이에 따라, $\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots ,Tv_{n}\}$은 $\operatorname {im} T$의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Rank-nullity theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Rank-nullity theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of rank-nullity theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Rank plus nullity theorem”. 《ProofWiki》 (영어).