초른 보조정리

수학에서 초른 보조정리(Zorn의補助定理, 영어: Zorn’s lemma) 또는 쿠라토프스키-초른 보조정리(Kuratowski-Zorn補助定理, 영어: Kuratowski–Zorn lemma)는 부분 순서 집합이 극대 원소를 가질 충분조건을 제시하는 보조정리다. 선택 공리와 동치이다.

정의

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 정렬 사슬(영어: well-ordered chain)은 정렬 집합을 이루는 사슬 $C\subseteq X$이다. (공집합 역시 정렬 사슬로 간주한다.) 또한, 원순서 집합 $X$에 대하여, $\max X\subseteq X$가 $X$의 극대 원소들의 집합이라고 하자. (극대 원소란 임의의 $x\in X$에 대하여 만약 $m\lesssim x$이라면 $x\sim m$을 만족시키는 원소 $m\in X$이다.) 또한, $\uparrow S$와 $\downarrow S$는 각각 상폐포와 하폐포를 뜻한다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. (즉, $X$의 모든 정렬 사슬이 상계를 갖는다고 하자. 특히, 공집합의 상계가 존재하므로 $X$는 공집합이 아니다.) 초른 보조정리에 따르면, $X=\downarrow \max X$이다. 다시 말해, 임의의 $x\in X$에 대하여 $x$와 비교 가능한 극대 원소 $m\in \max X$가 존재한다. (특히, $X\neq \varnothing$이므로 $\max X\neq \varnothing$이다. 다시 말해, $X$는 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.)

증명:

귀류법을 사용하자. 닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim )$이 주어졌으며, 또한 $x\in X\setminus \downarrow \max X$라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 함수를 선택 공리를 사용하여 고를 수 있다.

• 함수 $f\colon \operatorname {woChain} (X)\to X$는 $X$의 모든 정렬 사슬 $C\subseteq X$에 대하여, 그 상계 $f(C)$를 대응시킨다. (여기서 $\operatorname {woChain} (X)$는 $X$의 정렬 사슬들의 집합이다.) 또한, 특히 $f(\varnothing )=x$라고 하자.
• 함수 $g\colon \uparrow \{x\}\to \uparrow \{x\}$는 $\forall y\in \uparrow \{x\}\colon y<g(y)$를 만족시킨다. ($y<g(y)$란 $y\lesssim g(y)\not \lesssim y$를 뜻한다.)

임의의 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$에 대하여, 초한 귀납법으로 다음과 같은 원소열을 정의하자.

$a_{\alpha }=g(f(\{a_{\beta }\colon \beta <\alpha \}))\in X$

임의의 두 순서수 $\alpha ,\beta$에 대하여 $\alpha <\beta$이면 $a_{\alpha }<a_{\beta }$이므로, $\alpha \mapsto a_{\alpha }$는 순서수의 고유 모임 $\operatorname {Ord}$에서 $X$로 가는 단사 함수를 정의한다. 그러나 순서수의 고유 모임은 집합의 부분 집합이 될 수 없으므로, 모순이다. 따라서 귀류법이 성립한다.

예

원순서 집합 $(S,\lesssim )$의 사슬들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Chain} (S)\subseteq {\mathcal {P}}(S)$을 생각하자. 그렇다면, 사슬들의 사슬 $C_{0}\subseteq C_{1}\subseteq \cdots$의 합집합은 역시 사슬이므로, 초른 보조정리에 따라 $S$ 속에는 극대 사슬이 존재하며, $S$의 임의의 사슬은 어떤 극대 사슬의 부분 집합이다. 이 사실을 하우스도르프 극대 원리(Hausdorff極大原理, 영어: Hausdorff maximal principle)라고 한다. 이 역시 선택 공리 및 초른 보조정리와 동치이다.

역사

하우스도르프 극대 원리는 1914년에 펠릭스 하우스도르프가 최초로 사용하였다.

카지미에시 쿠라토프스키가 1922년에 증명하였다. 막스 초른이 1935년에 같은 정리를 "극대 원소 원리"(영어: maximum principle)라는 이름으로 발표하였고,^:667 이를 집합론의 공리로 차용할 것을 주장하였다.

"초른 (보조)정리"라는 이름은 1939년에 니콜라 부르바키가 《집합론》(프랑스어: Théorie des ensembles)에서 사용하였다.

참고 문헌

• Campbell, Paul J. (1978년 2월). “The origin of “Zorn’s lemma””. 《Historia Mathematica》 (영어) 5 (1): 77–89. doi:10.1016/0315-0860(78)90136-2. MR 0462876. Zbl 0377.01009. 
• Ciesielski, Krzysztof (1997). 《Set theory for the working mathematician》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59465-0. 

외부 링크

• Efimov, B.A. (2001). “Zorn lemma”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Zorn’s lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Zorn's lemma”. 《nLab》 (영어). 
• “Zorn's lemma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Axiom of choice implies Zorn's lemma”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 3월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 14일에 확인함. 
• “Zorn's lemma implies axiom of cohice”. 《ProofWiki》 (영어). 2022년 1월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 14일에 확인함. 
• “Hausdorff maximal principle”. 《ProofWiki》 (영어). 
• Tao, Terrence (2009년 1월 28일). “245B, Notes 7: Well-ordered sets, ordinals, and Zorn’s lemma (optional)”. 《What’s New》 (영어).