닫힌 원순서 집합

순서론에서, 닫힌 원순서 집합(-原順序集合, 영어: closed preordered set)이란 모든 사슬상계를 갖는 원순서 집합이다.

정의편집

원순서 집합  정렬 사슬정렬 전순서 집합을 이루는 사슬이다.  의 정렬 사슬들의 집합을  로 표기하자.

원순서 집합  가 다음 조건을 만족시킨다면, 닫힌 원순서 집합(영어: closed proset)이라고 한다.

임의의 사슬  에 대하여, 만약  정렬 전순서 집합이라면,  상계  를 갖는다.

사실, 모든 전순서 집합공종 정렬 전순서 집합을 가지므로, 위 정의에서 "정렬 사슬"을 모든 사슬에 대하여 강화시킬 수 있다.

보다 일반적으로, 순서수  에 대하여, 원순서 집합  가 다음 조건을 만족시킨다면,  -닫힌 원순서 집합(영어:  -closed proset)이라고 한다.[1]:214, Definition VII.6.12

임의의 사슬  에 대하여, 만약  정렬 전순서 집합이며 그 순서형이   미만이라면,  상계  를 갖는다.

만약  라면,   -닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 동치이다.

성질편집

초른의 보조 정리편집

초른의 보조 정리에 따르면, 닫힌 원순서 집합  에 대하여,  이다. 여기서  하폐포이며,   극대 원소들의 집합이다.

부르바키-비트 정리편집

원순서 집합  가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, 자기 함수  가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

 

부르바키-비트 정리(Bourbaki-Witt定理, 영어: Bourbaki–Witt theorem)에 따르면, 임의의  에 대하여,   에 속한, 하나 이상의 고정점을 갖는다.

 

초른의 보조 정리를 통한 증명:

임의의  에 대하여, 초른의 보조 정리를 사용하여  을 고를 수 있다. 그렇다면 극대 원소의 정의에 의하여  이다.

직접적인 증명:

 가 주어졌다고 하자. 함수

 

가,   속의 정렬 사슬을 그 상계에 대응시킨다고 하자.

귀류법을 사용하여,  가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의  에 대하여  라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수  에 대하여 다음과 같은 점렬을 재귀적으로 정의하자.

 

귀류법 가정 아래  정렬 전순서 집합이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수  를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 고유 모임  은 집합이 될 수 없으므로,   가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다.

강제법편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • ZFC표준 추이적 모형  
  • 집합  
  •  . 여기서   에서 기수가 되는 순서수들의 집합이다.
  • 원순서 집합  
  •  부분 집합  

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

  •  
  •    -닫힌 원순서 집합이다 
  •    포괄적 순서 아이디얼이다 

그렇다면,   함수들은  강제법 모형   사이에서 절대적이다. 즉,   속의 임의의 함수  는 이미  의 원소이다.[1]:214, Theorem 2.6.14

 

특히, 이와 같은 경우   속의,   이하의 공종도  이하의 기수들이 보존된다.[1]:215, Corollary 2.6.15

역사편집

부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 니콜라 부르바키[2]에른스트 비트[3]가 증명하였다.

참고 문헌편집

  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 14일에 확인함. 
  2. Bourbaki, Nicolas (1949). “Sur le théorème de Zorn”. 《Archiv der Mathematik》 (프랑스어) 2 (6): 434–437. doi:10.1007/BF02036949. ISSN 0003-889X. 
  3. Witt, Ernst (1951). “Beweisstudien zum Satz von M. Zorn. Herrn Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag gewidmet”. 《Mathematische Nachrichten》 (독일어) 4: 434–438. doi:10.1002/mana.3210040138.