초자연 변환

범주론에서 초자연 변환(超自然變換, 영어: extranatural transformation)은 자연 변환의 개념의 일반화이다.^:§Ⅸ.4 자연 변환과 달리, 초자연 변환은 정의역이 서로 다른 두 함자 사이에도 정의될 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$, ${\mathcal {C}}$, ${\mathcal {D}}$
• 두 함자

  $F\colon {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {B}}\to {\mathcal {D}}$

  $G\colon {\mathcal {A}}\times {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

그렇다면, ${\mathcal {A}}$에 대하여 자연적이며, ${\mathcal {B}}$와 ${\mathcal {C}}$에 대하여 초자연적인 초자연 변환 $\eta \colon F{\xrightarrow {..}}G$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.^{:219, §§Ⅸ.4:Definition 1.5}

• 각 $A\in {\mathcal {A}}$, $B\in {\mathcal {B}}$, $C\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 사상 $\eta _{A,B,C}\colon F(A,B,B)\to G(A,C,C)$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (${\mathcal {A}}$에서의 자연성) 각 $(B,C)\in {\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$에 대하여, $\eta _{-,B,C}\colon F(-,B,B)\Rightarrow F(-,C,C)$는 자연 변환이다. 즉, 임의의 사상 $f\in \hom _{\mathcal {A}}(A,A')$에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.

  ${\begin{matrix}F(A,B,B)&\to &G(A,C,C)\\\downarrow &&\downarrow \\F(A',B,B)&\to &G(A',C,C)\end{matrix}}$

• (${\mathcal {B}}$에서의 초자연성) 각 $(A,C)\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {C}}$ 및 $g\in \hom _{\mathcal {B}}(B,B')$에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.

  ${\begin{matrix}F(A,B',B)&\to &F(A,B,B)\\\downarrow &&\downarrow \\F(A,B',B')&\to &G(A,C,C)\end{matrix}}$

• (${\mathcal {C}}$에서의 초자연성) 각 $(A,B)\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}$ 및 $h\in \hom _{\mathcal {C}}(C,C')$에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.

  ${\begin{matrix}F(A,B,B)&\to &G(A,C,C)\\\downarrow &&\downarrow \\G(A,C',C')&\to &G(A,C,C')\end{matrix}}$

연산

임의의 초자연 변환은 임의로 합성될 수 없으나, 합성이 가능한 경우는 끈 그림(영어: string diagram)이라는 위상수학적 모형으로 계산될 수 있다.

구체적으로, ${\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {B}}\to {\mathcal {D}}$에서 ${\mathcal {A}}\times {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$로 가는 초자연 변환은 다음과 같은 꼴의 끈 그림(영어: string diagram)으로 나타낼 수 있다.^:§1

A B B
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

두 초자연 변환의 합성은 위와 같은 끈 그림의 합성으로 나타내어지는데, 이 경우 합성된 끈 그림이 순환을 갖지 않아야 한다. 예를 들어

    A
╭─╮ │
A A A
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

는 가능하며, 초자연 변환

A
│
│ ╭─╮
A C C

을 정의한다. 반면, 예를 들어

A
│ ╭─╮
A B B
│ ╰─╯
A

와 같은 합성은 불가능하다.

예

닫힌 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 지수 대상의 텐서곱 함자

$(\hom \otimes \operatorname {id} )\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

$(\hom ,\operatorname {id} )\colon (x,y,z)\mapsto x^{y}\otimes z$

및 항등 함자

$\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

가 존재한다. 이 사이에는 다음과 같은 초자연 변환이 존재한다.

$\operatorname {eval} \colon (\hom \otimes \operatorname {id} ){\xrightarrow {..}}\operatorname {id}$

$\operatorname {eval} _{X,Y}\colon X^{Y}\otimes Y\to X$

이는 $X$에 대하여 자연적이며, $Y$에 대하여 초자연적인 초자연 변환이다.^{:220, §Ⅸ.4}

예를 들어, 만약 $({\mathcal {C}},\otimes )$가 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간의 범주 $\operatorname {fgMod} _{K}$이며, $X=K$일 때, 이는 벡터 공간과 그 쌍대 공간 사이의 내적

$\langle -,-\rangle \colon V^{*}\otimes _{K}V\to K$

에 해당한다.

외부 링크

• “Extranatural transformation”. 《nLab》 (영어). 
• “Dinatural transformation”. 《nLab》 (영어). 
• Upmeier, Markus (2012년 9월 7일). “Dinatural transformations” (PDF) (영어). 2017년 8월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 8월 18일에 확인함. 
• “Intuition for dinatural and extranatural transformations”. 《Math Overflow》 (영어).