초평면 (수학)

수학에서, 초평면(超平面, 영어: hyperplane)은 3차원 공간 속의 평면을 일반화하여 얻는 개념이다.

정의편집

벡터 초평면편집

  위의 벡터 공간  부분 벡터 공간  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는   벡터 초평면(vector超平面, 영어: vector hyperplane)이라고 한다.

  • 몫벡터 공간  의 차원은 1이다.
  • 극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.[1]:109, Theorem 19
    •  
    • 임의의 부분 벡터 공간  에 대하여, 만약  라면,  이거나  이다.
  • 다음 조건을 만족시키는 쌍대 공간 원소  가 존재한다.[1]:109, Theorem 19
    •  
    •   (여기서  이다.)

증명:

우선   의 극대 진부분 벡터 공간라고 가정하자. 임의의  를 고정하자. 그렇다면 다음과 같은 직합 분해가 성립한다.

 

따라서, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 쌍대 공간 원소  를 정의할 수 있다.

 
 

이 경우  이므로  이며, 또한  이다.

반대로   를 만족시키는 쌍대 공간 원소  가 존재한다고 가정하자. 그렇다면  이므로  이다. 임의의  를 고정하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여,

 

이므로

 

이다. 따라서

 

이며,   의 극대 진부분 벡터 공간이다.

아핀 초평면편집

  위의 아핀 공간  부분 아핀 공간  가 주어졌다고 하자. 만약   위의 평행 이동들의 벡터 공간    위의 평행 이동들의 벡터 공간  의 벡터 초평면이라면,   아핀 초평면(affine超平面, 영어: affine hyperplane)이라고 한다.

사영 초평면편집

  위의 벡터 공간  으로부터 유도되는 사영 공간  사영 초평면(射影超平面, 영어: projective hyperplane)은 벡터 초평면  으로부터 유도되는 부분 사영 공간  이다.

성질편집

  위의 유한 차원 벡터 공간  부분 벡터 공간  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 벡터 초평면이다.
  •  

각주편집

  1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크편집