음이 아닌 정수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
{\displaystyle n}
사영 공간
P
Z
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}
P
Z
n
=
Proj
Z
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}=\operatorname {Proj} \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}
여기서
Z
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}
등급환 인) 정수 계수 다항식환 이며,
Proj
{\displaystyle \operatorname {Proj} }
사영 스펙트럼 이다.
임의의 스킴
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
n
{\displaystyle n}
사영 공간
P
X
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}}
P
X
n
=
P
Z
n
×
X
{\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times X}
여기서
×
{\displaystyle \times }
곱 을 뜻한다.
만약
R
{\displaystyle R}
가환환 이라면, 다음이 성립한다.
P
Spec
R
n
=
Proj
R
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {P} _{\operatorname {Spec} R}^{n}=\operatorname {Proj} R[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
K
{\displaystyle K}
대수적으로 닫힌 체 라고 하자. 그렇다면,
P
K
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}
K
n
+
1
∖
{
(
0
,
0
,
…
,
0
)
}
{\displaystyle K^{n+1}\setminus \{(0,0,\dots ,0)\}}
동치 관계 를 주자.
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
∼
(
λ
a
0
,
λ
a
1
,
…
,
λ
a
n
)
∀
λ
∈
K
×
{\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})\sim (\lambda a_{0},\lambda a_{1},\dots ,\lambda a_{n})\qquad \forall \lambda \in K^{\times }}
그렇다면
P
K
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}
(
K
n
+
1
∖
{
(
0
,
0
,
…
,
0
)
}
)
/
∼
{\displaystyle (K^{n+1}\setminus \{(0,0,\dots ,0)\})/{\sim }}
(
a
0
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}
동차좌표
임의의 스킴
S
{\displaystyle S}
닫힌 몰입 이 존재하며, 이를 세그레 사상 (영어 : Segre morphism )이라고 한다.
P
S
m
×
S
P
n
→
P
S
(
m
+
1
)
(
n
+
1
)
−
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{m}\times _{S}\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{(m+1)(n+1)-1}}
S
{\displaystyle S}
P
Z
m
×
P
Z
n
→
P
Z
(
m
+
1
)
(
n
+
1
)
−
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{m}\times \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{(m+1)(n+1)-1}}
구체적으로, 이는 동차 좌표에 대하여 다음과 같이 정의된다.
(
[
x
0
:
x
1
:
⋯
:
x
m
]
,
[
y
0
:
y
1
:
⋯
:
y
n
]
)
↦
[
x
0
y
0
:
x
0
y
1
:
⋯
:
x
0
y
n
:
x
1
y
0
:
x
1
y
1
:
⋯
:
x
m
y
n
]
{\displaystyle \left([x_{0}:x_{1}:\dotsb :x_{m}],[y_{0}:y_{1}:\dotsb :y_{n}]\right)\mapsto [x_{0}y_{0}:x_{0}y_{1}:\dotsb :x_{0}y_{n}:x_{1}y_{0}:x_{1}y_{1}:\dotsb :x_{m}y_{n}]}
즉, 사영 사상
π
1
:
P
Z
m
×
P
Z
n
→
P
Z
m
{\displaystyle \pi _{1}\colon \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{m}\times \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{m}}
π
2
:
P
Z
m
×
P
Z
n
→
P
Z
n
{\displaystyle \pi _{2}\colon \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{m}\times \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}
을 생각하면, 가역층
π
1
∗
O
P
Z
m
(
1
)
⊗
π
2
∗
O
P
Z
n
(
1
)
{\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{m}}(1)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}}(1)}
을 취할 수 있으며, 이 가역층은 위와 같이
(
m
+
1
)
(
n
+
1
)
{\displaystyle (m+1)(n+1)}
x
i
y
j
{\displaystyle x_{i}y_{j}}
i
∈
{
0
,
…
,
m
}
,
j
∈
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{0,\dotsc ,m\},j\in \{0,\dotsc ,n\}}
P
Z
(
m
+
1
)
(
n
+
1
)
−
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{(m+1)(n+1)-1}}
이를 통해, 사영 대수다양체의 곱이 사영 대수다양체임을 보일 수 있다.
1차원 복소수 사영 공간
P
C
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}
복소다양체 로 여겼을 때 리만 구 가 된다.
![{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}=\operatorname {Proj} \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32be7178b44690b7f9cd70c6392421006ff1ddd6)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae407b84b2db705344fd13c4d7aede6dbf2487f7)
![{\displaystyle \mathbb {P} _{\operatorname {Spec} R}^{n}=\operatorname {Proj} R[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d78243ed206e08a2797dd29ab18e1ec0425c7f)
![{\displaystyle \left([x_{0}:x_{1}:\dotsb :x_{m}],[y_{0}:y_{1}:\dotsb :y_{n}]\right)\mapsto [x_{0}y_{0}:x_{0}y_{1}:\dotsb :x_{0}y_{n}:x_{1}y_{0}:x_{1}y_{1}:\dotsb :x_{m}y_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f170935cb7286817e4cec673520f04e599c253b3)
