측도론 과 확률론 에서 추이 측도 (推移測度, 영어 : transition measure )는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수 이며 두 번째 변수에 대하여 측도 인 이변수 함수 이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도 를 유도할 수 있다.
두 가측 공간
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
와
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
사이의 추이 측도 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수
μ
:
X
×
G
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]}
이다.
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
B
↦
μ
(
x
,
B
)
{\displaystyle B\mapsto \mu (x,B)}
는
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
위의 측도 이다.
임의의
B
∈
G
{\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}
에 대하여,
x
↦
μ
(
x
,
B
)
{\displaystyle x\mapsto \mu (x,B)}
는
(
X
,
F
)
→
(
[
0
,
∞
]
,
B
(
[
0
,
∞
]
)
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}
가측 함수 이다.
만약 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여
B
↦
μ
(
x
,
B
)
{\displaystyle B\mapsto \mu (x,B)}
가 확률 측도 라면,
μ
{\displaystyle \mu }
를 확률 추이 측도 (確率推移測度, 영어 : probability transition measure )이라고 한다.
두 가측 공간
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
와
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
사이의 추이 측도
μ
{\displaystyle \mu }
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합 들의 족
B
⊂
G
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {G}}}
가 존재한다면,
μ
{\displaystyle \mu }
를 시그마 유한 추이 측도 (-有限推移測度, 영어 : sigma-finite transition measure )라고 한다.
|
B
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {B}}|\leq \aleph _{0}}
Y
=
⋃
B
{\displaystyle Y=\bigcup {\mathcal {B}}}
μ
(
x
,
B
)
<
∞
∀
x
∈
X
,
B
∈
B
{\displaystyle \mu (x,B)<\infty \qquad \forall x\in X,\;B\in {\mathcal {B}}}
두 가측 공간
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
와
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
사이의 추이 측도
μ
{\displaystyle \mu }
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합 들의 족
A
⊂
G
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {G}}}
및
B
⊂
G
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {G}}}
가 존재한다면,
μ
{\displaystyle \mu }
를 균등 시그마 유한 추이 측도 (均等-有限推移測度, 영어 : sigma-finite transition measure )라고 한다.
|
A
|
,
|
B
|
≤
ℵ
0
{\displaystyle |{\mathcal {A}}|,|{\mathcal {B}}|\leq \aleph _{0}}
X
=
⋃
A
{\displaystyle X=\bigcup {\mathcal {A}}}
Y
=
⋃
B
{\displaystyle Y=\bigcup {\mathcal {B}}}
sup
x
∈
A
μ
(
x
,
B
)
<
∞
∀
A
∈
A
,
B
∈
B
{\displaystyle \sup _{x\in A}\mu (x,B)<\infty \qquad \forall A\in {\mathcal {A}},\;B\in {\mathcal {B}}}
다음이 주어졌다고 하자.
유한 개의 가측 공간
(
X
i
,
F
i
)
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})_{i=1,\dots ,n}}
각
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
에 대하여,
(
∏
j
=
1
i
−
1
X
j
,
∏
j
=
1
i
−
1
F
j
)
{\displaystyle \textstyle (\prod _{j=1}^{i-1}X_{j},\prod _{j=1}^{i-1}{\mathcal {F}}_{j})}
와
(
X
i
,
F
i
)
{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})}
사이의 시그마 유한 추이 측도
μ
i
{\displaystyle \mu _{i}}
. (특히,
μ
1
{\displaystyle \mu _{1}}
은
(
X
1
,
F
1
)
{\displaystyle (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})}
위의 시그마 유한 측도 이다.)
그렇다면, 곱 가측 공간
(
∏
i
=
1
n
X
i
,
∏
i
=
1
n
F
i
)
{\displaystyle \textstyle (\prod _{i=1}^{n}X_{i},\prod _{i=1}^{n}{\mathcal {F}}_{i})}
위에 다음과 같은 시그마 유한 측도 를 부여할 수 있다.
μ
:
S
↦
∫
X
1
∫
X
2
⋯
∫
X
n
1
S
(
x
1
,
…
,
x
n
)
μ
n
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
,
d
x
n
)
⋯
μ
2
(
x
1
,
d
x
2
)
μ
1
(
d
x
1
)
∀
S
∈
∏
i
=
1
n
F
i
{\displaystyle \mu \colon S\mapsto \int _{X_{1}}\int _{X_{2}}\cdots \int _{X_{n}}1_{S}(x_{1},\dots ,x_{n})\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall S\in \prod _{i=1}^{n}{\mathcal {F}}_{i}}
이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 이다.
μ
(
∏
i
=
1
n
A
i
)
=
∫
A
1
∫
A
2
⋯
∫
A
n
μ
n
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
,
d
x
n
)
⋯
μ
2
(
x
1
,
d
x
2
)
μ
1
(
d
x
1
)
∀
A
1
∈
F
1
,
…
,
A
n
∈
F
n
{\displaystyle \mu \left(\prod _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\int _{A_{1}}\int _{A_{2}}\cdots \int _{A_{n}}\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}}
또한, 임의의 적분 가능 가측 함수
f
:
∏
i
=
1
n
X
i
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle \textstyle f\colon \prod _{i=1}^{n}X_{i}\to \mathbb {(} \mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
에 대하여, 다음이 성립한다.
∫
∏
i
=
1
n
X
i
f
d
μ
=
∫
X
1
∫
X
2
⋯
∫
X
n
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
μ
n
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
,
d
x
n
)
⋯
μ
2
(
x
1
,
d
x
2
)
μ
1
(
d
x
1
)
{\displaystyle \int _{\prod _{i=1}^{n}X_{i}}f\mathrm {d} \mu =\int _{X_{1}}\int _{X_{2}}\cdots \int _{X_{n}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\mu _{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots \mu _{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})\mu _{1}(\mathrm {d} x_{1})}
다음이 주어졌다고 하자.
가산 무한 개의 가측 공간
(
X
i
,
F
i
)
i
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})_{i=1,2,\dots }}
각
i
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle i=1,2,\dots }
에 대하여,
(
∏
j
=
1
i
−
1
X
j
,
∏
j
=
1
i
−
1
F
j
)
{\displaystyle \textstyle (\prod _{j=1}^{i-1}X_{j},\prod _{j=1}^{i-1}{\mathcal {F}}_{j})}
와
(
X
i
,
F
i
)
{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})}
사이의 확률 추이 측도
P
i
{\displaystyle P_{i}}
. (특히,
P
1
{\displaystyle P_{1}}
은
(
X
1
,
F
1
)
{\displaystyle (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})}
위의 확률 측도 이다.)
그렇다면, 이오네스쿠툴체아 정리 (-定理, 영어 : Ionescu Tulcea theorem )에 따르면 곱 가측 공간
(
∏
i
=
1
∞
X
i
,
∏
i
=
1
∞
F
i
)
{\displaystyle \textstyle (\prod _{i=1}^{\infty }X_{i},\prod _{i=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{i})}
위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도
P
{\displaystyle P}
가 존재한다.
P
(
∏
i
=
1
n
A
i
×
∏
i
=
n
+
1
∞
X
i
)
=
∫
A
1
∫
A
2
⋯
∫
A
n
P
n
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
,
d
x
n
)
⋯
P
2
(
x
1
,
d
x
2
)
P
1
(
d
x
1
)
∀
n
=
1
,
2
,
…
,
A
1
∈
F
1
,
…
,
A
n
∈
F
n
{\displaystyle P\left(\prod _{i=1}^{n}A_{i}\times \prod _{i=n+1}^{\infty }X_{i}\right)=\int _{A_{1}}\int _{A_{2}}\cdots \int _{A_{n}}P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n-1},\mathrm {d} x_{n})\cdots P_{2}(x_{1},\mathrm {d} x_{2})P_{1}(\mathrm {d} x_{1})\qquad \forall n=1,2,\dots ,\;A_{1}\in {\mathcal {F}}_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}}
3개의 가측 공간
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
,
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
,
(
Z
,
H
)
{\displaystyle (Z,{\mathcal {H}})}
및
X
×
G
{\displaystyle X\times {\mathcal {G}}}
위의 확률 추이 측도
μ
{\displaystyle \mu }
및
Y
×
H
{\displaystyle Y\times {\mathcal {H}}}
위의 확률 추이 측도
ν
{\displaystyle \nu }
가 주어졌을 때,
X
×
H
{\displaystyle X\times {\mathcal {H}}}
위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.
ν
∘
μ
:
(
x
,
C
)
↦
∫
Y
ν
(
y
,
C
)
μ
(
x
,
d
y
)
{\displaystyle \nu \circ \mu \colon (x,C)\mapsto \int _{Y}\nu (y,C)\mu (x,\mathrm {d} y)}
확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙 을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간 과 확률 추이 측도는 범주 를 이룬다.
두 가측 공간
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
,
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
및
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
위의 측도
μ
{\displaystyle \mu }
가 주어졌을 때, 함수
(
x
,
B
)
↦
μ
(
B
)
{\displaystyle (x,B)\mapsto \mu (B)}
는
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
와
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
사이의 추이 측도를 이룬다. 만약
μ
{\displaystyle \mu }
가 시그마 유한 측도 · 확률 측도 라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.
유한 이산 가측 공간
(
Ω
,
P
(
Ω
)
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))}
이 주어졌고, 행렬
p
:
Ω
×
Ω
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle p\colon \Omega \times \Omega \to [0,1]}
가
∑
y
∈
Ω
p
(
x
,
y
)
=
1
∀
x
∈
Ω
{\displaystyle \sum _{y\in \Omega }p(x,y)=1\qquad \forall x\in \Omega }
를 만족시킬 때, 함수
(
x
,
B
)
↦
∑
y
∈
B
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,B)\mapsto \sum _{y\in B}p(x,y)}
는
(
Ω
,
P
(
Ω
)
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ))}
위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.
이오네스쿠툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠툴체아(루마니아어 : Cassius Tocqueville Ionescu-Tulcea )가 증명하였다.[1]
↑ Ionescu-Tulcea, Cassius Tocqueville (1949). “Mesures dans les espaces produits”. 《Atti della Accademia Nazionale dei Lincei Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (8)》 (프랑스어) 7 : 208–211. MR 36288 .