축소 호몰로지

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축소 호몰로지(reduced homology)와 축소 코호몰로지(reduced cohomology)는 호몰로지 군에 약간 수정을 가한 것이다.

배경편집

비어 있지 않은 위상 공간의 0차 호몰로지 군은 자명하지 않기 때문에 많은 경우에서 예외가 생길 수 있다. 예를 들어 가장 간단한 공간인 한원소 공간의 호몰로지는 0차에서만  가 된다. 초구  의 호몰로지도 n차와 별도로 0차에서  이 된다.

 
 

만약 0차 호몰로지 · 코호몰로지 군의  이 하나 줄어들 수 있다면, 편의상 이점이 생길 것이다.

정의편집

보통의 호몰로지는 다음과 같은 사슬 복합체에서  를 취해 만들어진다.

 

위 사슬 복합체에  와 사상  을 추가해 다음과 같은 복합체를 얻는다.

 

위 복합체로 정의된 호몰로지  를 축소 호몰로지로 정의한다.

축소 코호몰로지도 마찬가지로 정의할 수 있다.

성질편집

축소 호몰로지는 원래 호몰로지에 비해 0차에서만 한 차원 낮고 나머지 차수에서는 동일하다.

 

따라서 경로 연결 공간의 경우  이 된다.

사용편집

  • 무어 공간은 축소 호몰로지가 한 차수를 제외하고 모두 0일 것을 요구한다.
  • 알렉산더 쌍대성은 축소 (코)호몰로지를 쓰기 때문에 보다 간단하게 표현할 수 있다.