초구
기하학에서 초구(超球, 영어: hypersphere)는 2차원 곡면인 구를 임의의 차원으로 일반화한 공간이다.
정의
편집차원 초구 은 차원 유클리드 공간에서, 원점에서 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다.
이는 유클리드 공간으로부터 리만 계량을 이어받아 차원 리만 다양체를 이룬다.
이는 다음과 같이 직교군 또는 스핀 군에 대한 동차 공간으로 여길 수 있다.
성질
편집넓이와 부피
편집반지름이 인 n차원 초구의 초부피는
이다. 여기서 는 감마 함수이다.
차원 초구의 겉부피는
이다. 예를 들어, 4차원 초구의 초부피는 이고, 겉부피는 이다.
호몰로지와 호모토피
편집초구의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.
드람 코호몰로지에서, 이 코호몰로지류는 상수 함수 및 부피 형식의 상수배에 의하여 대표된다.
초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다.
π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13 π14 π15 S0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S1 ℤ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S2 0 ℤ ℤ ℤ2 ℤ2 ℤ12 ℤ2 ℤ2 ℤ3 ℤ15 ℤ2 ℤ22 ℤ12×ℤ2 ℤ84×ℤ22 ℤ22 S3 0 0 ℤ ℤ2 ℤ2 ℤ12 ℤ2 ℤ2 ℤ3 ℤ15 ℤ2 ℤ22 ℤ12×ℤ2 ℤ84×ℤ22 ℤ22 S4 0 0 0 ℤ ℤ2 ℤ2 ℤ×ℤ12 ℤ22 ℤ22 ℤ24×ℤ3 ℤ15 ℤ2 ℤ23 ℤ120×ℤ12×ℤ2 ℤ84×ℤ25 S5 0 0 0 0 ℤ ℤ2 ℤ2 ℤ24 ℤ2 ℤ2 ℤ2 ℤ30 ℤ2 ℤ23 ℤ72×ℤ2 S6 0 0 0 0 0 ℤ ℤ2 ℤ2 ℤ24 0 ℤ ℤ2 ℤ60 ℤ24×ℤ2 ℤ23 S7 0 0 0 0 0 0 ℤ ℤ2 ℤ2 ℤ24 0 0 ℤ2 ℤ120 ℤ23 S8 0 0 0 0 0 0 0 ℤ ℤ2 ℤ2 ℤ24 0 0 ℤ2 ℤ×ℤ120
초구 의 (비축소) 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.[1]:39
초구의 축소 복소수 위상 K군들은 다음과 같다.
초구의 축소 실수 위상 K군들은 다음과 같다.[2]:§3.1
세포 복합체 구조
편집차원 초구는 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 차원 세포를 가지는 세포 복합체 구조를 갖는다.
리 군과의 관계
편집초구 위의 리 군 구조
편집- (2차 순환군)
- (원군)
- (2차 특수 유니터리 군)
증명:
동차 공간으로의 표현
편집초구 가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자.
여기서
- 은 미분 동형이다. (이를 호모토피 동치로 약화시켜도 이 분류는 마찬가지로 성립한다.)
- 는 연결 콤팩트 리 군이다.
- 는 의 닫힌 부분군이다.
- 는 위의 유효 작용을 가지며, 이는 기약 작용이다.
그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.[3]:Theorem 10
G | H | 초구의 차원 |
---|---|---|
SO(n+1) | SO(n) | n |
SU(k) | SU(k−1) | 2k−1 (k≥2) |
Sp(k) | Sp(k−1) | 4k−1 (k≥2) |
G2 | SU(3) | 6 |
Spin(7) | G2 | 7 |
Spin(9) | Spin(7) | 15 |
특히, 이므로, 모든 초구는 대칭 공간이다.
예
편집0차원 초구 은 두 점으로 이루어진 이산 공간이다.
1차원 초구는 원 (기하학)이다. 2차원 초구는 일반적인 구다. 3차원 초구는 리 군 SU(2)와 동형이다.
3차원 이상의 초구는 호프 올뭉치에 등장한다.
각주
편집- ↑ Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory” (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z.
- ↑ Gukov, Sergei (1999). “K-theory, reality, and orbifolds” (영어). arXiv:hep-th/9901042.
- ↑ Bletz‐Siebert, Oliver (2005). “Almost transitive actions on spaces with the rational homotopy of sphere products” (PDF). 《Journal of Lie Theory》 (영어) 15: 1–11.
외부 링크
편집- “Sphere”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Hypersphere”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Sphere”. 《nLab》 (영어).
- “Group actions on spheres”. 《nLab》 (영어).
- 이철희. “초구(hypersphere)”. 《수학노트》.
- 이철희. “N차원 구면”. 《수학노트》.
- 이철희. “N차원 구면의 부피(면적)”. 《수학노트》.