다음과 같이
u
T
A
v
=
0.
{\displaystyle \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {v} =0.}
두개의 영이 아닌 벡터들을 u 과 v 를 켤레라고 하자. (A 에 대하여)
A 는 대칭이고 양의 정부호를 갖는 행렬이기 때문에 왼쪽 변이 내적으로 정의 된다.
⟨
u
,
v
⟩
A
:=
⟨
A
u
,
v
⟩
=
⟨
u
,
A
T
v
⟩
=
⟨
u
,
A
v
⟩
=
u
T
A
v
.
{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle _{\mathbf {A} }:=\langle \mathbf {A} \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {A} \mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {v} .}
만일 두개의 벡터가 이 내적에 대하여 수직이면 그것들을 켤레라고 한다.
켤레가 되는것은 대칭관계이다: 만일 u 가 v 에 켤레이면
v 가 u 에 켤레이다.
P
=
{
p
k
:
∀
i
≠
k
,
i
,
k
∈
[
1
,
n
]
,
⟨
p
i
,
p
k
⟩
A
=
0
}
{\displaystyle P=\{\mathbf {p} _{k}:\forall i\neq k,i,k\in [1,n],\langle \mathbf {p} _{i},\mathbf {p} _{k}\rangle _{A}=0\}}
는 n개 상호적인 켤레 방향들의 집합이라고 가정하자.
그러면
P
{\displaystyle P}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
P
{\displaystyle P}
A
x
=
b
{\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }
x
∗
{\displaystyle \mathbf {x} _{*}}
x
∗
=
∑
i
=
1
n
α
i
p
i
{\displaystyle \mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {p} _{i}}
그리고 우리가 보면
b
=
A
x
∗
=
∑
i
=
1
n
α
i
A
p
i
.
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {A} \mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {A} \mathbf {p} _{i}.}
어떤
p
k
∈
P
{\displaystyle \mathbf {p} _{k}\in P}
p
k
T
b
=
p
k
T
A
x
∗
=
∑
i
=
1
n
α
i
p
k
T
A
p
i
=
α
k
p
k
T
A
p
k
.
{\displaystyle \mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} =\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{i}=\alpha _{k}\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{k}.}
(왜냐하면
∀
i
≠
k
,
p
i
,
p
k
{\displaystyle \forall i\neq k,p_{i},p_{k}}
α
k
=
p
k
T
b
p
k
T
A
p
k
=
⟨
p
k
,
b
⟩
⟨
p
k
,
p
k
⟩
A
=
⟨
p
k
,
b
⟩
‖
p
k
‖
A
2
.
{\displaystyle \alpha _{k}={\frac {\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{k}}}={\frac {\langle \mathbf {p} _{k},\mathbf {b} \rangle }{\,\,\,\langle \mathbf {p} _{k},\mathbf {p} _{k}\rangle _{\mathbf {A} }}}={\frac {\langle \mathbf {p} _{k},\mathbf {b} \rangle }{\,\,\,\|\mathbf {p} _{k}\|_{\mathbf {A} }^{2}}}.}
이 결과는 위에 정의된 내적을 고려하면서 이 결과는 아마도 매우 명백하다.
이것은 Ax = b 방정식을 풀 때 다음의 방법을 쓴다. :
n개의 켤레 방향들의 수열을 찾고, 그런뒤 그 계수들
α
k
{\displaystyle \scriptstyle \alpha _{k}}
만일 우리가 켤레 벡터들을 p k
x
∗
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} _{*}}
n 이 매우 커서 직접적인 방법으로 풀기에 시간이 매우 많이 걸리는 계들의 경우 이 방법을 거의 정확하게 풀게 해준다.
x
∗
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} _{*}}
x 0 라고 하자.
우리는 일반성을 잃지 않고 x 0 = 0 (마찬가지로, 대신에 그 계를 Az = b − Ax 0 ) 라고 가정할 수 있다.
x 0 와 함께 시작하여 우리는 그 해를 찾고, 각각의 반복에서 우리는 그 해
x
∗
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} _{*}}
x
∗
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} _{*}}
이차함수 의 유일하게 최소치라는 사실로부터 나왔다.
그래서 만일 f(x )가 반복에 있어서 작아진다면 그것은 우리가
x
∗
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} _{*}}
f
(
x
)
=
1
2
x
T
A
x
−
x
T
b
,
x
∈
R
n
.
{\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,\quad \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}.}
x = x 0 에서 f 의 구배(영어:gradient)의 음의 값이 되도록 처음 기저 p 0 를 잡는다.
그 f 의 구배(영어:gradient)가 Ax −b 와 같고, 추측 해x 0 를 가지고 시작한다.
(우리는 만일 우리가 다른 어떤 것을 추측할 이유가 없다면
x
∗
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} _{*}}
0 이고 그 집합을 x 0 0 으로 항상 추측할 수 있다. )
이것을 p 0 = b −Ax 0 라고 두자.
그 기저안에 다른 벡터들은 그 구배(영어:gradient)에 켤레가 될 것이다.
그래서 이 방법의 이름이 공역 구배법 (영어:conjugate gradient method )이다.
우선 k 번째 단계에서 r k 유수 (영어:residue)라고 하자:
r
k
=
b
−
A
x
k
.
{\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {b} -\mathbf {Ax} _{k}.\,}
r k x = x k f 의 구배(gradient)라는 점을 염두에 두고,
그래서 경사 하강법 은 r k p k
그 공역 제약조건은 직교-유형의 제약조건이고 그래서, 그 알고리즘은 그램 -슈미트 와 유사하다.
이것은 다음의 표현과 같다:
p
k
=
r
k
−
∑
i
<
k
p
i
T
A
r
k
p
i
T
A
p
i
p
i
{\displaystyle \mathbf {p} _{k}=\mathbf {r} _{k}-\sum _{i<k}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {r} _{k}}{\mathbf {p} _{i}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{i}}}\mathbf {p} _{i}}
(수렴에 켤레성 제약조건의 영향에 관한 문서의 상단에 있는 그림을 참조)
이 방향에 따르면, 그 다음 최적의 위치는 다음에 의해 주어진다.
x
k
+
1
=
x
k
+
α
k
p
k
{\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {x} _{k}+\alpha _{k}\mathbf {p} _{k}}
α
k
=
p
k
T
b
p
k
T
A
p
k
=
p
k
T
(
r
k
−
1
+
A
x
k
−
1
)
p
k
T
A
p
k
=
p
k
T
r
k
−
1
p
k
T
A
p
k
,
{\displaystyle \alpha _{k}={\frac {\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{k}}}={\frac {\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }(\mathbf {r} _{k-1}+\mathbf {Ax} _{k-1})}{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{k}}}={\frac {\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k-1}}{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{k}}},}
를 포함함
(p k x k-1
그 결과의 알고리즘
편집
그 위에 알고리즘은 공역 구배법의 가장 간단한 설명을 제공한다.
일견에, 그 알고리즘에 명시된대로 이전의 검색 방향들과 유수 벡터들의 저장이 필요할 뿐만 아니라
많은 행렬 벡터의 곱셉들이 필요로 하고, 따라서 계산하는데 비용이 많이 들 수 있다.
그러나 그 알고리즘의 근접한 분석은 다음 과 같이 볼 수 있다.
모든 i < k 에 관하여 r k+1 p i r k p k x k r k+1 p k+1 x k+1
실수이고, 대칭행렬이고 양의 정부호 행렬인 A 에 관하여 Ax = b 를 푸는 알고리즘 방법은 밑에 상세히 설명되어 있다.
그 입력 벡터 x 0 는 거의 정확한 초기 해나 0 이 될 수 있다.
이것은 위에 명시된 정확한 절차의 다른 식이다.
r
0
:=
b
−
A
x
0
p
0
:=
r
0
k
:=
0
repeat
α
k
:=
r
k
T
r
k
p
k
T
A
p
k
x
k
+
1
:=
x
k
+
α
k
p
k
r
k
+
1
:=
r
k
−
α
k
A
p
k
if
r
k
+
1
is sufficiently small then exit loop
β
k
:=
r
k
+
1
T
r
k
+
1
r
k
T
r
k
p
k
+
1
:=
r
k
+
1
+
β
k
p
k
k
:=
k
+
1
end repeat
The result is
x
k
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} _{0}:=\mathbf {b} -\mathbf {Ax} _{0}\\&\mathbf {p} _{0}:=\mathbf {r} _{0}\\&k:=0\\&{\hbox{repeat}}\\&\qquad \alpha _{k}:={\frac {\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k}}{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} _{k}}}\\&\qquad \mathbf {x} _{k+1}:=\mathbf {x} _{k}+\alpha _{k}\mathbf {p} _{k}\\&\qquad \mathbf {r} _{k+1}:=\mathbf {r} _{k}-\alpha _{k}\mathbf {Ap} _{k}\\&\qquad {\hbox{if }}r_{k+1}{\hbox{ is sufficiently small then exit loop}}\\&\qquad \beta _{k}:={\frac {\mathbf {r} _{k+1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k+1}}{\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k}}}\\&\qquad \mathbf {p} _{k+1}:=\mathbf {r} _{k+1}+\beta _{k}\mathbf {p} _{k}\\&\qquad k:=k+1\\&{\hbox{end repeat}}\\&{\hbox{The result is }}\mathbf {x} _{k+1}\end{aligned}}}
이것은 일반적으로 자주 사용되는 알고리즘이다. 이와 같은 식은
β
k
{\displaystyle \beta _{k}}
알파와 베타의 계산
편집
알고리즘에서,
α
k
{\displaystyle \alpha _{k}}
r
k
+
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{k+1}}
r
k
{\displaystyle \mathbf {r} _{k}}
α
k
=
r
k
T
r
k
r
k
T
A
p
k
=
r
k
T
r
k
p
k
T
A
p
k
{\displaystyle \alpha _{k}={\frac {\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k}}{\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} _{k}}}={\frac {\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k}}{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} _{k}}}}
r
k
=
p
k
−
β
k
−
1
p
k
−
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {p} _{k}-\mathbf {\beta } _{k-1}\mathbf {p} _{k-1}}
β
k
{\displaystyle \beta _{k}}
p
k
+
1
{\displaystyle \mathbf {p} _{k+1}}
p
k
{\displaystyle \mathbf {p} _{k}}
β
k
{\displaystyle \beta _{k}}
β
k
=
−
r
k
+
1
T
A
p
k
p
k
T
A
p
k
{\displaystyle \beta _{k}=-{\frac {\mathbf {r} _{k+1}^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} _{k}}{\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} _{k}}}}
r
k
=
r
k
−
1
−
α
k
−
1
A
p
k
−
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k-1}-\alpha _{k-1}A\mathbf {p} _{k-1}}
A
p
k
−
1
=
1
α
k
−
1
(
r
k
−
1
−
r
k
)
{\displaystyle A\mathbf {p} _{k-1}={\frac {1}{\alpha _{k-1}}}(\mathbf {r} _{k-1}-\mathbf {r} _{k})}
β
k
{\displaystyle \beta _{k}}
r
k
+
1
T
A
p
k
=
1
α
k
r
k
+
1
T
(
r
k
−
r
k
+
1
)
=
−
1
α
k
r
k
+
1
T
r
k
+
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{k+1}^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} _{k}={\frac {1}{\alpha _{k}}}\mathbf {r} _{k+1}^{\mathrm {T} }(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{k+1})=-{\frac {1}{\alpha _{k}}}\mathbf {r} _{k+1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k+1}}
r
k
+
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{k+1}}
r
k
{\displaystyle \mathbf {r} _{k}}
p
k
T
A
p
k
=
(
r
k
+
β
k
−
1
p
k
−
1
)
T
A
p
k
=
1
α
k
r
k
T
(
r
k
−
r
k
+
1
)
=
1
α
k
r
k
T
r
k
{\displaystyle \mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} _{k}=(\mathbf {r} _{k}+\beta _{k-1}\mathbf {p} _{k-1})^{\mathrm {T} }A\mathbf {p} _{k}={\frac {1}{\alpha _{k}}}\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{k+1})={\frac {1}{\alpha _{k}}}\mathbf {r} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{k}}
검색 방향들
p
k
{\displaystyle \mathbf {p} _{k}}
α
k
{\displaystyle \alpha _{k}}
β
{\displaystyle \beta }
함수 (프로그래밍) 예제
편집
function [x] = conjgrad ( A,b,x)
r = b - A * x ;
p = r ;
rsold = r '* r ;
for i = 1 : 1e6
Ap = A * p ;
alpha = rsold / ( p '* Ap );
x = x + alpha * p ;
r = r - alpha * Ap ;
rsnew = r '* r ;
if sqrt ( rsnew ) < 1e-10
break ;
end
p = r + rsnew / rsold * p ;
rsold = rsnew ;
end
end
수치적 예제
편집
공역 구배법을 설명하기 위해서, 우리는 간단한 예를 들겠다.
다음과 같은 선형 계인 Ax = b 을 고려하면
A
x
=
[
4
1
1
3
]
[
x
1
x
2
]
=
[
1
2
]
,
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}},}
그 계의 거의 정확한 해를 찾기 위해서
우리는 초기 추측값을 설정하여 공역 구배법의 두 단계만에 수행할 것이다.
x
0
=
[
2
1
]
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}
참고에 따르면 정확한 해는 ::
x
=
[
1
11
7
11
]
{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{11}}\\\\{\frac {7}{11}}\end{bmatrix}}}
우리의 첫번째 단계는 x 0 과 연관된 유수 벡터 r 0 를 계산 하는 것이다.
이 유수는 식 r 0 = b - Ax 0 으로부터 계산되고, 그리고 우리에 경우에는 다음과 같다.
r
0
=
[
1
2
]
−
[
4
1
1
3
]
[
2
1
]
=
[
−
8
−
3
]
.
{\displaystyle \mathbf {r} _{0}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}.}
이것은 첫번째 반복 계산이기 때문에, 우리는 우리의 초기 검색방향p 0 으로써 유수 벡터 r 0 를 사용할 것이다.
앞으로의 반복 계산에서 p k 를 선택하는 방법은 변할 것이다.
우리는 이제 위의 관계를 이용하여 이제 스칼라 α0 를 계산한다.
α
0
=
r
0
T
r
0
p
0
T
A
p
0
=
[
−
8
−
3
]
[
−
8
−
3
]
[
−
8
−
3
]
[
4
1
1
3
]
[
−
8
−
3
]
=
73
331
.
{\displaystyle \alpha _{0}={\frac {\mathbf {r} _{0}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{0}}{\mathbf {p} _{0}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} _{0}}}={\frac {{\begin{bmatrix}-8&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix}-8&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}}}={\frac {73}{331}}.}
우리는 그 식을 이용하여 x 1 을 계산 할 수 있다.
x
1
=
x
0
+
α
0
p
0
=
[
2
1
]
+
73
331
[
−
8
−
3
]
=
[
0.2356
0.3384
]
.
{\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{0}+\alpha _{0}\mathbf {p} _{0}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+{\frac {73}{331}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.2356\\0.3384\end{bmatrix}}.}
이 결과는 첫번째 반복 계산을 완료되고, 그 계에 "향상된" 거의 정확한 해x 1 가 된다.
우리는 이제 이동하여 이 식을 이용하여 새로운 유수 벡터 r 1 를 계산할 것이다.
r
1
=
r
0
−
α
0
A
p
0
=
[
−
8
−
3
]
−
73
331
[
4
1
1
3
]
[
−
8
−
3
]
=
[
−
0.2810
0.7492
]
.
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}=\mathbf {r} _{0}-\alpha _{0}\mathbf {A} \mathbf {p} _{0}={\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}-{\frac {73}{331}}{\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2810\\0.7492\end{bmatrix}}.}
그 과정속에서 우리의 다음 단계는 다음 검색 방향 p 1 를 결정하는데 결과적으로 사용될 스칼라 β0 를 계산하는 것이다.
β
0
=
r
1
T
r
1
r
0
T
r
0
=
[
−
0.2810
0.7492
]
[
−
0.2810
0.7492
]
[
−
8
−
3
]
[
−
8
−
3
]
=
0.0088.
{\displaystyle \beta _{0}={\frac {\mathbf {r} _{1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{1}}{\mathbf {r} _{0}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{0}}}={\frac {{\begin{bmatrix}-0.2810&0.7492\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-0.2810\\0.7492\end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix}-8&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}}}=0.0088.}
이제, 이 스칼라 β0 를 이용하여, 우리는 그 관계를 이용하여 다음 검색 방향 p 1 을 계산 할 수 있다.
p
1
=
r
1
+
β
0
p
0
=
[
−
0.2810
0.7492
]
+
0.0088
[
−
8
−
3
]
=
[
−
0.3511
0.7229
]
.
{\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\mathbf {r} _{1}+\beta _{0}\mathbf {p} _{0}={\begin{bmatrix}-0.2810\\0.7492\end{bmatrix}}+0.0088{\begin{bmatrix}-8\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.3511\\0.7229\end{bmatrix}}.}
우리는 α0 에서 사용했던 같은 방식으로
새로 얻은 p 1 를 이용하여 이제 스칼라 α1 를 계산 할 수 있다.
α
1
=
r
1
T
r
1
p
1
T
A
p
1
=
[
−
0.2810
0.7492
]
[
−
0.2810
0.7492
]
[
−
0.3511
0.7229
]
[
4
1
1
3
]
[
−
0.3511
0.7229
]
=
0.4122.
{\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\mathbf {r} _{1}^{\mathrm {T} }\mathbf {r} _{1}}{\mathbf {p} _{1}^{\mathrm {T} }\mathbf {Ap} _{1}}}={\frac {{\begin{bmatrix}-0.2810&0.7492\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-0.2810\\0.7492\end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix}-0.3511&0.7229\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-0.3511\\0.7229\end{bmatrix}}}}=0.4122.}
마지막으로, 우리는 x 1 을 찾았던 같은 방법으로 x 2 를 찾는다.
x
2
=
x
1
+
α
1
p
1
=
[
0.2356
0.3384
]
+
0.4122
[
−
0.3511
0.7229
]
=
[
0.0909
0.6364
]
.
{\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} _{1}+\alpha _{1}\mathbf {p} _{1}={\begin{bmatrix}0.2356\\0.3384\end{bmatrix}}+0.4122{\begin{bmatrix}-0.3511\\0.7229\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.0909\\0.6364\end{bmatrix}}.}
그 결과, x 2 는 그 계의 해에 x 1 과 x 0 보다 "더나은" 근사치가 된다.
만일 제한된 정밀도 대신에 이 예에서 정확한 계산이 되었다면, 그 정확한 해는 이론적으로 n =2 반복수행 후 도달 할 것이다.
(n 은 그 계의 크기임).
![{\displaystyle P=\{\mathbf {p} _{k}:\forall i\neq k,i,k\in [1,n],\langle \mathbf {p} _{i},\mathbf {p} _{k}\rangle _{A}=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bf378c8063637447e7be23465b020ee1468b8e)
