콕서터 길이 함수

군론에서, 콕서터 길이 함수(Coxeter길이函數, 영어: Coxeter length function)는 콕서터 군 위에 정의된 자연수 값의 함수이며, 해당 군 원소를 나타내기 위한 단순 반사의 수이다.

정의

표시가 주어진 콕서터 군

$G=\langle r_{1},\dotsc ,r_{n}|(r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$

에서, $r_{1},\dotsc ,r_{n}$을 $G$의 단순 반사(單純反射, 영어: simple reflection)라고 하자.

$G$위에서, 다음과 같은 자연수 값의 함수를 정의하자.

$\ell \colon G\to \mathbb {N}$

$\ell (g)=\min\{k\in \mathbb {N} \colon \exists f\colon \{1,\dotsc ,k\}\to \{1,\dotsc ,n\}\colon r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(n)}=g\}$

즉, $\ell (g)$는 $g$를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수의 최솟값이며, 이를 콕서터 군의 원소 $g$의 길이(영어: length)라고 한다.

$g$를 표현하는, 최소 길이의 반사들로 구성된 문자열

$g=r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell (g))}$

을 $g$ 의 축소 단어(縮小單語, 영어: reduced word)라고 한다. 이는 일반적으로 유일하지 않을 수 있다.

브뤼아 순서

$G$ 위에는 다음과 같은 세 부분 순서를 정의할 수 있다. 우선, 임의의 두 원소

$g,g'\in G$

의 (임의의) 축소 단어

$g=r_{f(1)}\dotsm r_{f(\ell (g))}$

$g'=r_{f'(1)}\dotsm r_{f'(\ell (g'))}$

가 주어졌다고 하자.

부분 순서의 이름	$g\leq g'$일 필요 충분 조건
브뤼아 순서(영어: Bruhat order)	$f=f'\circ j$이게 하는 단사 증가 함수 $j\colon \{1,\dotsc ,\ell (g)\}\to \{1,\dotsc ,\ell (g')\}$가 존재함
오른쪽 약한 순서(영어: right weak order)	$\ell (g)\leq \ell (g')$, $f(i)=f'(i)\;\forall i\leq \ell (g)$
왼쪽 약한 순서(영어: left weak order)	$\ell (g)\leq \ell (g')$, $f(i)=f'(i+\ell (g')-\ell (g))\;\forall i\leq \ell (g)$

여기서, 정의들은 항상

“$g\leq g'$일 필요 충분 조건은 다음 조건을 만족시키는 $g$와 $g'$의 축소 단어 $f$, $f'$가 적어도 하나 이상 존재하는 것이다”

의 꼴이다. (즉, 모든 가능한 축소 단어가 위 조건을 충족시키지는 않아도 된다.)

성질

콕서터 군 $G$에서, 다음이 성립한다.

$\ell (g)=\ell (g^{-1})\qquad \forall g\in G$

$\ell (g)=0\iff g=1$

$\ell (gh)\leq \ell (g)+\ell (h)\qquad \forall g,h\in G$

즉, $G$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 줄 수 있다.

$d(g,h)=\ell (g^{-1}h)\qquad (g,h\in G)$

최장 원소

유한 콕서터 군 $G$ 위에서, 길이가 가장 긴 원소가 항상 유일하게 존재한다. 이를 $G$의 최장 원소(最長元素, 영어: longest element)라고 한다. (그러나 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다.) $G$의 최장 원소가 $w\in G$일 때, 이는 다음 성질을 갖는다.

• $w^{2}=1$

증명:

축소 단어

$w=r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell (w))}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$w^{-1}=r_{f(\ell (w)}\dotsm r_{f(1)}$

역시 축소 단어이며, 최장 원소가 유일하므로 $w=w^{-1}$이다.

• $\forall g\in G\colon \ell (wg)=\ell (gw)=\ell (w)-\ell (g)$
• $\ell (w)$는 $G$의 근계의 양근의 수이다.
• $w$의 임의의 축소 단어에는 $G$의 모든 단순 반사가 한 번 이상 등장한다. (특히, $\ell (w)\geq n$이다.)

예

유한 콕서터 군의 최장 원소는 다음과 같다.

• $A_{n}$ ($n\geq 2$), $D_{2k+1}$, $E_{6}$, $I_{2}(2k+1)$의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소 $-1$ × 콕서터 도표의 반사 대칭이다.
• 나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소 $-1$이다.

참고 문헌

• Davis, Michael W. (2007). 《The geometry and topology of Coxeter groups》 (PDF). London Mathematical Society Monographs (영어) 32. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13138-2. Zbl 1142.20020.