쾨니그의 정리 (집합론)
집합론에서 쾨니그의 정리(Kőnig의定理, 영어: Kőnig’s theorem)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다.
정의
편집집합 및 기수의 집합 , 가 주어졌고, 또한 모든 에 대하여
라고 하자. 쾨니그의 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
따름정리
편집쾨니그의 정리는 다음과 같은 따름정리들을 갖는다.
칸토어의 정리
편집이며 라고 하자. 그렇다면
이다. 이는 칸토어의 정리다.
선택 공리
편집이고, 가 임의의 0이 아닌 기수라고 하자. 그렇다면
이다. 이는 선택 공리의 한 형태이다.
공종도의 지수
편집가 어떤 무한 기수 의 (최소) 공종 집합이라고 하자. 즉, 이는 순서수들의 집합이다. 또한, 로 놓고, 라고 하자. 그렇다면
이다. 즉, 무한 기수 에 대하여
이다. 여기서 를 기멜 함수라고 한다.
공종도의 하한
편집어떤 무한 기수 와 기수 에 대하여, 항상
이다.
증명은 다음과 같다. 이미 증명된 따름정리에 따라
이므로, 기수 거듭제곱의 단조성에 따라서
이다.
증명
편집집합족 와 가 주어졌고, 임의의 에 대하여 전사 함수
가 존재하지 않는다고 하자. 임의의 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 가 전사 함수가 아님을 보이면 족하다.
사영 함수
를 정의하여,
를 생각하자. 가정에 따라, 이 함수는 전사 함수가 아니므로,
를 고르자. 그렇다면
이므로, 는 전사 함수가 아니다.
역사
편집각주
편집- ↑ König, J. (1904). 〈Zum Kontinuum-Problem〉. Adolf Krazer. 《Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904》 (독일어). 144–147쪽. 2015년 1월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 4일에 확인함.
- ↑ König, J. (1905). “Zum Kontinuum-Problem”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 60 (2): 177–180. doi:10.1007/BF01677263. ISSN 0025-5831.