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집합론에서, 칸토어의 정리(영어: Cantor's theorem)는 멱집합크기가 항상 원래의 집합의 크기보다 크다는 정리이다. 즉, 집합과 멱집합의 원소는 일대일 대응할 수 없다.

목차

정의편집

집합  멱집합   의 모든 부분 집합의 집합이다.

칸토어의 정리에 따르면, 멱집합  의 크기는 항상 원래의 집합  의 크기보다 크다. 즉, 다음이 성립한다.

 

즉, 임의의 기수  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

증명편집

만약  이라면,

 

이므로 성립한다.

만약  이라면, 우선 단사 함수

 
 

가 존재하므로,

 

이다. 또한, 만약

 

라고 가정하면, 전단사 함수

 

가 존재한다. 이 경우, 부분 집합

 

를 구성할 수 있는데,  의 정의에 따라

 

이며, 이는 모순이다. 즉,

 

이며, 따라서

 

이다.

역사편집

게오르크 칸토어가 증명하였다. 이 정리로부터 제기된 의문은 연속체 가설의 토대를 제공하였다.

같이 보기편집