크로네커 곱

선형대수학에서 크로네커 곱(영어: Kronecker product)은 두 행렬의 텐서곱을 구체적으로 표현하는 행렬이다. m×n 행렬과 p×q 행렬의 크로네커 곱은 크기 mp×nq의 더 큰 행렬이다.

정의

환 $R$ 위의 $m\times n$ 행렬 $M$과 $p\times q$ 행렬 $N$이 주어졌다고 하자.

$M={\begin{pmatrix}M_{11}&\dotsm &M_{1n}\\\vdots &&\vdots \\M_{m1}&\dotsm &M_{mn}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;R)$

$N={\begin{pmatrix}N_{11}&\dotsm &N_{1q}\\\vdots &&\vdots \\N_{p1}&\dotsm &N_{pq}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (p,q;R)$

그렇다면, $M$과 $N$의 크로네커 곱

$M\otimes N\in \operatorname {Mat} (mp,nq;R)$

은 다음과 같은 성분을 갖는 $mp\times nq$ 행렬이다.

$M\otimes N={\begin{pmatrix}M_{11}N&\dotsm &M_{1n}N\\\vdots &&\vdots \\M_{m1}N&\dotsm &M_{mn}N\end{pmatrix}}$

즉,

$(M\otimes N)_{(a-1)p+i,(b-1)q+j}=M_{ab}N_{ij}$

이다.

성질

임의의 환 $R$ 계수의 행렬들의 크로네커 곱은 다음을 만족시킨다.

$1_{1\times 1}\otimes A=A\otimes 1_{1\times 1}=A$

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)$

$(A\otimes B)^{\top }=A^{\top }\otimes B^{\top }$

만약 $R$가 추가로 가환환일 때, 행렬식을 정의할 수 있으며, 다음이 성립한다.

$\det(A\otimes B)=(\det A)^{n}(\det B)^{m}\qquad (A\in \operatorname {Mat} (m,m;R),\;B\in \operatorname {Mat} (n,n;R)$

$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)\qquad (A\in \operatorname {Mat} (m,n;R),\;B\in \operatorname {Mat} (m',n';R),\;C\in \operatorname {Mat} (n,p;R),\;D\in \operatorname {Mat} (n',p';R))$

역사

레오폴트 크로네커(1823~1891)의 이름을 땄다. 그러나 이름과 달리 요한 게오르크 체푸스(독일어: Johann Georg Zehfuss, 1832~1901)가 1858년에 최초로 사용하였다.

외부 링크

• “Tensor product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Kronecker product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.