선형대수학에서, 아다마르 곱(영어: Hadamard product)은 같은 크기의 두 행렬의 각 성분을 곱하는 연산이다. 즉, 일반 행렬곱은 의 꼴의 두 행렬을 곱하지만, 아다마르 곱은 의 꼴의 두 행렬을 곱한다. 덧셈에 대하여 분배 법칙을 따른다. 기호는 .

정의편집

 의 성분을 갖는, 같은 크기  의 두 행렬

 
 
 

이 주어졌다고 하자. 그렇다면,   아다마르 곱은 다음과 같다.

 

성질편집

 가 주어졌다고 하자.

아다마르 곱은 결합 법칙과 덧셈에 대한 분배 법칙을 따른다. 즉, 임의의

 

에 대하여, 다음이 성립한다.

 
 
 

아다마르 곱의 항등원은 모든 성분이 1인 행렬

 

이다. 이에 따라,  을 이루며, 이는 환의 직접곱  과 동형이다.

만약  가환환이라면, 아다마르 곱은 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의

 

에 대하여, 만약  가환환일 경우 다음이 성립한다.

 

만약  의 모든 성분이 가역원이라면,  에 대한 아다마르 곱은 다음과 같은 역원을 갖는다.

 

대칭 행렬의 아다마르 곱은 대칭 행렬이다. 두 복소수 에르미트 행렬의 아다마르 곱은 에르미트 행렬이다.

슈어-오펜하임 부등식편집

임의의 두 양의 준정부호 에르미트 행렬

 
 
 
 
 

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어-오펜하임 부등식(Schur-Oppenheim不等式, 영어: Schur–Oppenheim inequality)에 따르면, 다음이 성립한다.

  •  은 역시 양의 준정부호 에르미트 행렬이다.
  •  

역사편집

“아다마르 곱”이라는 용어는 자크 아다마르의 이름을 딴 것이다.

슈어-오펜하임 부등식의 경우, 이사이 슈어가 1911년에  을 증명하였으며,[1]:14, Satz Ⅶ 알렉산더 오펜하임(영어: Alexander Oppenheim, 1903~1997)이 1930년에 이를 개량하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Schur, J. (1911). “Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 140: 1–28. doi:10.1515/crll.1911.140.1. ISSN 0075-4102. JFM 42.0367.01. 
  2. Oppenheim, Alexander (1930년 4월). “Inequalities connected with definite Hermitian forms”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 5 (2): 114–119. doi:10.1112/jlms/s1-5.2.114. JFM 56.0106.05. 

외부 링크편집