군론에서, 특성 단순군(特性單純群, 영어: characteristically simple group)은 특성 부분군자명 부분군과 자기 자신밖에 없는 이다.

정의 편집

   가 아닌 특성 부분군을 갖지 않는다면,  특성 단순군이라고 한다.

성질 편집

유한군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 특성 단순군이다.
  •  는 유한 개의 같은 단순군  직접곱  동형이다.

증명:

우선,  가 유한 특성 단순군이라고 하고,  가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상  이라고 하자.  의 임의의 극소 정규 부분군  을 취하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여,   역시 극소 정규 부분군이다. 이제  

 

의 한 극대 원소라고 하자. 그렇다면,  이며, 임의의  에 대하여,  이다. 따라서  이거나  이며,  의 극대성에 의하여  이다. 즉,

 

이며,   의 특성 부분군이다.  는 특성 단순군이므로  이다. 또한, 임의의  에 대하여,  이므로,  의 극소성에 의하여  이거나  이다. 즉,  은 단순군이며,

 

이다.

반대로, 임의의 단순군   및 음이 아닌 정수  에 대하여,  이 특성 단순군임을 보이자. 만약  아벨 군이라면,  소수이며,  의 구조를 부여할 수 있고,  을 이 체에 대한  차원 벡터 공간으로 생각할 수 있다. 이 경우  의 군으로서의 자기 동형 사상은 전단사 선형 변환과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 부분 벡터 공간과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로,  은 특성 단순군이다.

만약  이 아벨 군이 아니라면,  개의 자연스러운 단사 군 준동형

 

의 상을  로 표기하자. 그렇다면  은 다음과 같은 내직접곱과 같다.

 

우선 임의의  를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자.

 

이는 임의의    에 대하여, 만약  이며,  일 경우,  임을 보이는 것으로 족하다.  는 비아벨 단순군이므로  이며, 특히  이다. 따라서,

 

 가 존재하며,

 

이다. (여기서   켤레류로 생성된 부분군을 뜻한다.)

이제   의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상

 

이라고 하자. 다음과 같은  의 자기 동형 사상을 생각하자.

 
 

그렇다면

 

이며, 이는 모순이다. 즉,  은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다.

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유한 개의 소수   크기의 군의 직접곱은 특성 단순군이다.

임의의 군의 극소 정규 부분군은 특성 단순군이다.

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