우선,
G
{\displaystyle G}
가 유한 특성 단순군이라고 하고,
G
{\displaystyle G}
가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상
G
≠
{
1
G
}
{\displaystyle G\neq \{1_{G}\}}
이라고 하자.
G
{\displaystyle G}
의 임의의 극소 정규 부분군
N
{\displaystyle N}
을 취하자. 그렇다면, 임의의
ϕ
∈
Aut
(
G
)
{\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}
에 대하여,
ϕ
(
N
)
{\displaystyle \phi (N)}
역시 극소 정규 부분군이다. 이제
M
{\displaystyle M}
이
{
ϕ
1
(
N
)
×
⋯
×
ϕ
k
(
N
)
≤
G
:
ϕ
i
∈
Aut
(
G
)
,
∀
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
:
ϕ
i
(
N
)
∩
ϕ
1
(
N
)
⋯
ϕ
i
−
1
(
N
)
ϕ
i
+
1
(
N
)
⋯
ϕ
k
(
N
)
=
{
1
G
}
}
{\displaystyle \{\phi _{1}(N)\times \cdots \times \phi _{k}(N)\leq G\colon \phi _{i}\in \operatorname {Aut} (G),\;\forall i\in \{1,\dots ,k\}\colon \phi _{i}(N)\cap \phi _{1}(N)\cdots \phi _{i-1}(N)\phi _{i+1}(N)\cdots \phi _{k}(N)=\{1_{G}\}\}}
의 한 극대 원소 라고 하자. 그렇다면,
M
⊲
G
{\displaystyle M\vartriangleleft G}
이며, 임의의
ϕ
∈
Aut
(
G
)
{\displaystyle \phi \in \operatorname {Aut} (G)}
에 대하여,
ϕ
(
N
)
∩
M
⊲
G
{\displaystyle \phi (N)\cap M\vartriangleleft G}
이다. 따라서
ϕ
(
N
)
∩
M
=
{
1
G
}
{\displaystyle \phi (N)\cap M=\{1_{G}\}}
이거나
ϕ
(
N
)
∩
M
=
ϕ
(
N
)
{\displaystyle \phi (N)\cap M=\phi (N)}
이며,
M
{\displaystyle M}
의 극대성에 의하여
ϕ
(
N
)
∩
M
=
ϕ
(
N
)
{\displaystyle \phi (N)\cap M=\phi (N)}
이다. 즉,
M
=
∏
ϕ
(
N
)
ϕ
(
N
)
{\displaystyle M=\prod _{\phi (N)}\phi (N)}
이며,
M
{\displaystyle M}
은
G
{\displaystyle G}
의 특성 부분군이다.
G
{\displaystyle G}
는 특성 단순군이므로
G
=
M
{\displaystyle G=M}
이다. 또한, 임의의
H
⊲
N
{\displaystyle H\vartriangleleft N}
에 대하여,
H
⊲
G
{\displaystyle H\vartriangleleft G}
이므로,
N
{\displaystyle N}
의 극소성에 의하여
H
=
{
1
G
}
{\displaystyle H=\{1_{G}\}}
이거나
H
=
N
{\displaystyle H=N}
이다. 즉,
N
{\displaystyle N}
은 단순군이며,
G
=
∏
ϕ
(
N
)
ϕ
(
N
)
≅
∏
ϕ
(
N
)
N
{\displaystyle G=\prod _{\phi (N)}\phi (N)\cong \prod _{\phi (N)}N}
이다.
반대로, 임의의 단순군
N
{\displaystyle N}
및 음이 아닌 정수
n
{\displaystyle n}
에 대하여,
N
×
n
{\displaystyle N^{\times n}}
이 특성 단순군임을 보이자. 만약
N
{\displaystyle N}
이 아벨 군 이라면,
|
N
|
{\displaystyle |N|}
은 소수 이며,
N
{\displaystyle N}
에 체 의 구조를 부여할 수 있고,
N
×
n
{\displaystyle N^{\times n}}
을 이 체에 대한
n
{\displaystyle n}
차원 벡터 공간 으로 생각할 수 있다. 이 경우
N
×
n
{\displaystyle N^{\times n}}
의 군으로서의 자기 동형 사상은 전단사 선형 변환 과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 부분 벡터 공간 과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로,
N
×
n
{\displaystyle N^{\times n}}
은 특성 단순군이다.
만약
N
{\displaystyle N}
이 아벨 군이 아니라면,
n
{\displaystyle n}
개의 자연스러운 단사 군 준동형
ı
i
:
N
↪
N
×
n
(
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
)
{\displaystyle \imath _{i}\colon N\hookrightarrow N^{\times n}\qquad (i\in \{1,\dots ,n\})}
의 상을
ı
i
(
N
)
=
N
i
{\displaystyle \imath _{i}(N)=N_{i}}
로 표기하자. 그렇다면
N
×
n
{\displaystyle N^{\times n}}
은 다음과 같은 내직접곱과 같다.
N
×
n
=
N
1
×
⋯
×
N
n
{\displaystyle N^{\times n}=N_{1}\times \cdots \times N_{n}}
우선 임의의
H
⊲
N
×
n
{\displaystyle H\vartriangleleft N^{\times n}}
를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자.
H
=
N
i
1
×
⋯
×
N
i
k
(
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
)
{\displaystyle H=N_{i_{1}}\times \cdots \times N_{i_{k}}\qquad (1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n)}
이는 임의의
g
∈
H
{\displaystyle g\in H}
및
g
i
∈
N
i
{\displaystyle g_{i}\in N_{i}}
및
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle j\in \{1,\dots ,n\}}
에 대하여, 만약
g
=
g
1
⋯
g
n
{\displaystyle g=g_{1}\cdots g_{n}}
이며,
g
j
≠
1
N
×
n
{\displaystyle g_{j}\neq 1_{N^{\times n}}}
일 경우,
N
j
⊆
H
{\displaystyle N_{j}\subseteq H}
임을 보이는 것으로 족하다.
N
j
{\displaystyle N_{j}}
는 비아벨 단순군이므로
Z
(
N
j
)
=
{
1
N
×
n
}
{\displaystyle \operatorname {Z} (N_{j})=\{1_{N^{\times n}}\}}
이며, 특히
g
j
∉
Z
(
N
j
)
{\displaystyle g_{j}\not \in \operatorname {Z} (N_{j})}
이다. 따라서,
1
N
×
n
≠
g
j
h
g
j
−
1
h
−
1
=
g
h
g
−
1
h
−
1
∈
H
{\displaystyle 1_{N^{\times n}}\neq g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}=ghg^{-1}h^{-1}\in H}
인
h
∈
N
j
{\displaystyle h\in N_{j}}
가 존재하며,
N
j
=
⟨
Cl
(
g
j
h
g
j
−
1
h
−
1
)
⟩
⊆
H
{\displaystyle N_{j}=\langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle \subseteq H}
이다. (여기서
⟨
Cl
(
g
j
h
g
j
−
1
h
−
1
)
⟩
{\displaystyle \langle \operatorname {Cl} (g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1})\rangle }
는
g
j
h
g
j
−
1
h
−
1
{\displaystyle g_{j}hg_{j}^{-1}h^{-1}}
의 켤레류 로 생성된 부분군을 뜻한다.)
이제
H
{\displaystyle H}
가
N
×
n
{\displaystyle N^{\times n}}
의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상
H
=
N
1
×
⋯
×
N
k
(
1
≤
k
<
n
)
{\displaystyle H=N_{1}\times \cdots \times N_{k}\qquad (1\leq k<n)}
이라고 하자. 다음과 같은
N
×
n
{\displaystyle N^{\times n}}
의 자기 동형 사상을 생각하자.
ϕ
:
N
×
n
→
N
×
n
{\displaystyle \phi \colon N^{\times n}\to N^{\times n}}
ϕ
:
(
g
1
,
g
2
,
…
,
g
n
)
↦
(
g
n
,
g
1
,
…
,
g
n
−
1
)
(
g
i
∈
N
)
{\displaystyle \phi \colon (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n})\mapsto (g_{n},g_{1},\dots ,g_{n-1})\qquad (g_{i}\in N)}
그렇다면
ϕ
(
H
)
=
N
2
×
⋯
×
N
k
+
1
≠
H
{\displaystyle \phi (H)=N_{2}\times \cdots \times N_{k+1}\neq H}
이며, 이는 모순이다. 즉,
N
×
n
{\displaystyle N^{\times n}}
은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다.