랴푸노프 안정성

동역학계 이론에서 랴푸노프 안정성(Ляпунов安定性, 영어: Lyapunov stability)은 동역학계의 평형점이 가질 수 있는 안정성 성질 가운데 하나이다. 대략, 랴푸노프 안정 평형점 부근에서 시작하는 동역학계의 모든 해는 영원히 이 평형점 주변에 머무르게 된다. 랴푸노프 안정성보다 더 강한 개념으로 점근적 안정성(漸近的安定性, 영어: asymptotic stability)과 지수적 안정성(指數的安定性, 영어: exponential stability)이 있다.

정의

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린집합 ${\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 위에 다음과 같은 자율 동역학계가 주어졌다고 하자.

$x(t)\in {\mathcal {D}}$

${\dot {x}}(t)=f(x(t))$

$x(0)=x_{0}\in D$

또한,

$f\colon {\mathcal {D}}\to \mathbb {R} ^{n}$

는 립시츠 연속 함수이며,

$f(0)=0$

이라고 하자. 즉, 원점은 평형점을 이룬다. (만약 평형점 $x=x_{e}$이 다른 곳에 있을 경우,$x-x_{e}=y$로 치환하여, 항상 평형점을 원점으로 놓을 수 있다.)

이 경우, 이 자율 동역학계의 평형점 $x=0$의 안정성은 다음과 같은 용어로 표현할 수 있다.

• 임의의 $\epsilon >0$에 대하여, $\|x(0)\|<\delta$이라면 $\sup _{t\geq 0}\|x(t)\|<\epsilon$인 $\delta >0$가 존재한다면, 평형점 $x=0$이 랴푸노프 안정(영어: Lyapunov-stable)하다고 한다.
• 만약 평형점 $x=0$이 랴푸노프 안정하고, 또한 $\|x(0)\|<\delta$ 이면 $\lim _{t\to \infty }\|x(t)\|=0$ 인 $\delta >0$ 가 존재하면, 평형점 $x=0$이 점근적으로 안정(영어: asymptotically stable)하다고 한다.
• 만약 평형점 $x=0$이 점근적으로 안정하고, $0<\|x(0)\|<\delta$ 이면 $\sup _{t\geq 0}\exp(\beta t)\|x(t)\|/\|x(0)\|\leq \alpha$인 $\alpha ,\beta ,\delta >0$가 존재한다면, 평형점 $x=0$이 지수적으로 안정(영어: exponentially stable)하다고 한다.

대략, 위 정의는 다음과 같이 생각할 수 있다.

• 랴푸노프 안정 평형점에서 "충분히 가까이" ($\delta$ 이내의 거리에서) 시작된 해들은 영원히 평형점에 "충분히 가까이" ($\epsilon$ 이내의 거리에) 머문다. 또한, 허용 오차 $\epsilon$을 임의로 줄일 수 있다.
• 점근적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분히 가까이 머물 뿐만 아니라, 충분한 시간이 지나면 해당 평형점으로 수렴한다.
• 지수적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분한 시간이 지나면 적어도 어떤 알려진 비율에 따라 지수함수적으로 해당 평형점으로 수렴한다.

랴푸노프 함수

동역학계의 평형점의 안정 여부는 랴푸노프 함수(Ляпунов函數, 영어: Lyapunov function)라는 함수를 찾아 증명할 수 있다.

동역학계 ${\dot {x}}=f(x)$의 평형점이 $x_{e}=0$이라 하자. 그리고 ${\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$을 $x=0$을 포함하는 정의역으로 두자. 다음과 같은 도함수가 연속인 함수 $V\colon {\mathcal {D}}\to \mathbb {R}$을 고려하자.

$V(0)=0{\text{ and }}V(x)>0,\,\forall x\in {\mathcal {D}}\setminus \{0\}$

${\dot {V}}(x)\leq 0\;\forall x\in {\mathcal {D}}$

그러면 $x=0$은 랴푸노프 안정하다. 만약 ${\dot {V}}(x)<0,\;\forall x\in ({\mathcal {D}}-\{0\})$이라면 $x=0$은 점근적으로 안정하다. 이러한 함수 $V$를 랴푸노프 함수라고 한다.

역사

랴푸노프 안정성은 러시아의 수학자 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 땄다. 랴푸노프는 1892년 박사 학위 논문 《운동의 안정성에 관한 일반적 문제》에서 최초로 비선형 동역학계의 어떤 평형점 근처에서의 선형화를 다뤘다. 이 책은 러시아어로 출판되었고, 그 후 프랑스어로 번역되었는데, 오랫동안 주목을 받지 못하였다.

랴푸노프 이론은 냉전 시절에 항공우주 유도 시스템의 안정성을 다루기 위해 학계에서 주목받기 시작하였다. 이러한 동역학계는 보통 심하게 비선형적이어서, 랴푸노프 제2 방법 이외로는 쉽게 다룰 수 없다. 이후 관련 분야들이 제어 이론 및 동역학계 관련 문헌에서 널리 다뤄지고 있다. 더욱 최근에는 랴푸노프의 제1 방법에서 쓰이는 랴푸노프 지수가 혼돈 이론에서 응용되고 있다.

외부 링크

• “Lyapunov stability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.