카스틸리아노의 정리

카스틸리아노의 정리(Castigliano's theorems)는 중첩의 원리가 적용되는 선형탄성계에서 변형에너지로부터 변위나 하중을 구하는 방법을 제공하는 정리로, 이탈리아의 수학자이자 물리학자인 카를로 알베르토 카스틸리아노로부터 그 이름이 붙여졌다. 카스틸리아노의 정리를 이용해 변위나 하중을 구하는 방법을 카스틸리아노의 방법이라고도 한다.

카스틸리아노의 정리에는 두 가지가 있다.

카스틸리아노의 제1정리

“어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 변위 $\delta _{i}$의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 변위에 대해 편미분한 값은 하중 $P_{i}$와 같다.”

즉, 변형에너지를 $U$라고 하면,

$P_{i}={\frac {\partial U}{\partial \delta _{i}}}\quad \left(i=1,2,3,...,n\right)$

카스틸리아노의 제2정리

“어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 하중 $P_{i}$의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 하중에 대해 편미분한 값은 변위 $\delta _{i}$와 같다.”

$\delta _{i}={\frac {\partial U}{\partial P_{i}}}\quad \left(i=1,2,3,...,n\right)$

적용과 한계

적용 예

길이가 L, 휨강성이 EI인 외팔보의 자유단에 연직 중력방향으로 하중 $P_{1}$만이 작용할 때, 하중 작용점에서의 처짐 $\delta _{1}$을 구하기 위해 구조물의 변형에너지를 하중 $P_{1}$의 함수로 나타내면 다음과 같다. 단, 휨 변형만을 고려한 것이다.

$U={\frac {1}{2EI}}\int _{0}^{L}{\left(-P_{1}x\right)}^{2}dx={\frac {P_{1}^{2}L^{3}}{6EI}}$

카스틸리아노의 제2정리에 의해

$\delta _{1}={\frac {\partial U}{\partial P_{1}}}={\frac {P_{1}L^{3}}{3EI}}$

적용의 한계

카스틸리아노의 정리는 구조물 지점의 침하나 온도 변화 등에 따른 처짐의 계산에는 사용될 수 없다.

같이 보기

• 단위하중법
• 최소일의 방법

외부 링크

• (영어) 위키책의 구조공학 모듈
• (독일어) 카스틸리아노 정리를 사용한 계산의 몇 가지 예