퀴네트 정리: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
=== 체의 계수를 가진 호몰로지 ===
<math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[위상공간 (수학)|위상공간]]이라고 하고, <math>H_\bullet(-;k)</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>k</math>의 계수를 가진 [[특이 호몰로지]]라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>\bigoplus_{i+j=k}H_i(X;k)\otimes H_j(Y;k)\cong H_k(X\times Y;k)</math>
이를 '''퀴네트 정리'''라고 한다. 이에 따라, [[베티 수]]에 대해서는 다음이 성립한다.
:<math>b_X(t)=\sum_it^i\dim H^i(X;\mathbb Q)</math>
가 [[베티 수]]의 [[생성함수]]라고 하자. 그렇다면
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:<math>H^\bullet(X;k)\otimes H^\bullet(Y;k)\cong H^\bullet(X\times Y;k)</math>
=== 환의 계수를 가진 호몰로지 ===
만약 계수가 체가 아닌 일반적인 [[가환환]]인 경우, 퀴네트 정리는 [[꼬임 부분군|꼬임]] 때문에 더 복잡해진다.
만약 계수가 [[주 아이디얼 정역]] <math>R</math>인 경우, '''퀴네트 정리'''는 다음과 같다. 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\bigoplus_{i+j=k}H_i(X;R)\otimes H_j(Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k-1}\operatorname{Tor}^R_1(H_i(X;R),H_j(Y;R))\to0</math>
여기서 <math>\operatorname{Tor}</math>는 [[Tor 함자]]다. 이 짧은 완전열은 분할(split)되지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.
== 역사 ==
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