퀴네트 정리

대수적 위상수학에서, 퀴네트 정리(영어: Künneth theorem)는 곱공간호몰로지코호몰로지에 대한 정리다. 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다.

정의편집

체 계수편집

  위상 공간이라고 하고,    의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 

이를 퀴네트 정리라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다.

 

베티 수생성함수라고 하자. 그렇다면

 

이다.

호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을  이라고 적으면, 다음이 성립한다.

 

여기서 좌변은 등급환 -텐서곱이다.

주 아이디얼 정역 계수편집

만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다.

만약 계수가 주 아이디얼 정역  인 경우, 퀴네트 정리에 따르면 다음과 같은  -가군짧은 완전열이 존재한다.

 

여기서  Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, 주 아이디얼 정역   계수의 코호몰로지에 대하여,  -가군짧은 완전열이 존재한다.

 

여기서  Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.

호몰로지 스펙트럼 열편집

임의의 가환환   계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 퀴네트 스펙트럼 열(영어: Künneth spectral sequence)  로 표현된다.[1]:§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.

 

스펙트럼 열곱공간의 호몰로지로 수렴한다.

 

보다 일반적으로, 위상군  가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간   및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간  가 주어졌고,   -주다발을 이룬다고 하자. 이 경우  의 호몰로지  는 자연스럽게 을 이루며, 이는   의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열,

 

은 다음과 같은  -곱공간의 호몰로지로 수렴한다.[1]:§3.1

 

여기서

 

이다. 이는  자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.

코호몰로지 스펙트럼 열편집

마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.[1]:§3.2

 

만약   의 코호몰로지가 각 차수에서  -유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은  의 코호몰로지로 수렴한다.

 

보다 일반적으로, 연속 함수  ,  가 주어졌으며  올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면    의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.

  •  단일 연결 공간이다.
  •  ,  ,  의 코호몰로지는 각 차수에서  -유한 생성 가군이다.

그렇다면 스펙트럼 열

 

은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.[1]:§3.2

 

여기서  는 범주론적 당김

 

이다. 이는  한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.

역사편집

독일의 수학자 헤르만 퀴네트(독일어: Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다.[2][3]

참고 문헌편집

  1. Hatcher, A. 《Spectral Sequences in Algebraic Topology》 (영어). 
  2. Künneth, H. (1923년 3월). “Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 90: 65–85. doi:10.1007/BF01456242. ISSN 0025-5831. JFM 49.0408.01. 
  3. Künneth, H. (1924년 3월). “Über die Torsionszahlen von Produktmannigfaltigkeiten”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 91: 125–134. doi:10.1007/BF01498384. ISSN 0025-5831. JFM 50.0658.03. 

외부 링크편집

같이 보기편집