"모듈러 곡선"의 두 판 사이의 차이

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[[수론]]과 [[대수기하학]]에서, '''모듈러 곡선'''(modular曲線, {{llang|en|modular curve}})은 [[상반평면]]의 [[모듈러 군]]의 부분군에 대한 [[몫공간]]인 [[리만 곡면]]이다.<ref name="DS">{{책 인용|이름=Fred|성=Diamond|공저자=Jerry Shurman|제목=A first course in modular forms|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=228|날짜=2005|isbn=978-0-387-23229-4|doi=10.1007/b138781|zbl=1062.11022|언어고리=en}}</ref> [[타원곡선]]과 [[모듈러 군]]의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.
 
== 정의 ==
콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 '''확장 상반평면'''({{llang|en|extended upper-half plane}})
:<math>\mathbb H^*=\mathbb H\cup\mathbb Q\cup\{i\infty\}</math>
을 정의하자. 그렇다면 '''콤팩트 모듈러 곡선''' <math>X(G)=G\setminus\mathbb확장 H^*상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.<ref name="DS"/math>이라고 한다.{{rp|58}}
<math>X(G)=G\setminus\mathbb H^*=Y(G)\cup G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})</math>
 
대표적인 합동 부분군 &Gamma<sub>0</sub>(''N''), &Gamma<sub>1</sub>(''N'') 및 &Gamma;(''N'')에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 ''X''<sub>0</sub>(''N''), ''X''<sub>1</sub>(''N''), ''X''(''N'')이라고 적는다.
 
== 타원점과 첨점 ==
합동 부분군 <math>G</math>의 '''타원점''' <math>\tau\in\mathbb H</math>는 그 점에서의 <math>\mathbb H</math>-[[군의 작용|작용]]에 대한 [[안정자군]] <math>G_\tau</math>가 자명하지 않는 (<math>\pm1\subset G</math>보다 더 큰) 점이다.<ref name="DS"/>{{rp|48}} 이 경우, <math>G_\tau/\{\pm1\}</math>의 크기를 타원점 <math>\tau</math>의 '''계수'''({{llang|en|order}})라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 <math>G</math>의 모듈러 곡선 <math>Y(G)</math> 위의 한 점으로 간주할 수 있다.
 
합동 부분군 <math>G</math>의 '''첨점'''({{llang|en|cusp}})은 :<math>G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})=X(G)-Y(G)</math>
의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.
 
== 성질 ==
 
== 참고 문헌 ==
{{주석}}
* {{책 인용|이름=Fred|성=Diamond|공저자=Jerry Shurman|제목=A first course in modular forms|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=228|날짜=2005|isbn=978-0-387-23229-4|doi=10.1007/b138781|zbl=1062.11022|언어고리=en}}
 
[[분류:리만 곡면]]