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정의편집

모듈러 군  의 부분군  가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰  에 대하여  라면,  를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수  을 합동 부분군  준위(영어: level 레벨[*])라고 한다.

Γ(1)은 자연스럽게 상반평면  에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군   또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간  를 (비콤팩트) 모듈러 곡선  라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)

 

을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.[1]:58  

대표적인 합동 부분군 Γ0(N), Γ1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다.

타원점과 첨점편집

합동 부분군  타원점  는 그 점에서의  -작용에 대한 안정자군  가 자명하지 않는 ( 보다 더 큰) 점이다.[1]:48 이 경우,  의 크기를 타원점  계수(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은  의 모듈러 곡선   위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군  첨점(尖點, 영어: cusp)은 :  의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.

타원곡선과의 관계편집

모듈러 곡선은 소위 준위 구조(영어: level structure)를 가진 복소 타원곡선모듈라이 공간이다. 예를 들어,  은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다.  는 타원 곡선

 

과 대응된다. 여기서   에 의하여 생성되는 2차원 격자이며,  는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른  를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)

X(N)편집

X(N)의 경우, 타원곡선   위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들  이다.[2]:440

  •   의 차수는  의 약수이다. 즉,  이다.
  •   베유 쌍(Weil pairing)은  이다.

복소수체의 경우, 두  차 점

 
 
 

의 베유 쌍은

 

이다.

이에 따라서  N꼬임 부분군

 

기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의  에 대하여 이는

 

로 주어진다.

X0(N)편집

X0(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 N순환 부분군

 

이다.[2]:440 구체적으로,  에 대하여 이는

 

이다.

X1(N)편집

X1(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가  인 점 (즉,   )이다.[2]:439 구체적으로,  에 대하여 이는

 

이다.

성질편집

모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군  의 콤팩트 모듈러 곡선  의 종수(genus)는 다음과 같다.[1]:68

 

여기서

  •  부분군의 지표다.
  •   의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
  •  는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
  •   의 첨점들의 수이다.

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Γ(1)편집

모듈러 군  의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선  리만 구  동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.

 

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.

  • 계수가 2인 타원점 1개 ( )
  • 계수가 3인 타원점 1개 ( )
  • 첨점 1개 ( )

를 가진다. 따라서

 

이다. 이는 리만 구에 해당한다.

Γ(N)편집

Γ(N)의 경우  이면 타원점이 없다.[1]:57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.[1]:106

 

또한, 이 경우  개의 첨점이 있다.[1]:106 따라서 이 경우 종수는

 

이다. 예를 들어,  인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는

 

이다.

N소수 p일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. (OEIS의 수열 A191590)

 

따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001766), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A000114), 종수는 (OEIS의 수열 A001767)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 6 3 0 0 0
3 12 4 0
4 24 6 0
5 60 12 0
6 72 12 1
7 168 24 3
8 192 24 5
9 324 36 10
10 360 36 13
11 66 60 26

X(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량  에 의해 주어지고, X(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수  에 의해 주어진다.

Γ1(N)편집

Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다.[1]:57 Γ1(N)의 지표

 

이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.[1]:107[3]

 

( 오일러 피 함수이다.) 따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107[3] 여기서 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A000114), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A029936), 종수는 (OEIS의 수열 A029937)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 3 2 1 0 0
3 4 2 0 1 0
4 6 3 0 0 0
5 12 4 0
6 12 4 0
7 24 6 0
8 24 6 0
9 36 8 0
10 36 8 0
11 60 10 1
12 48 10 0

Γ0(N)편집

Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.

 
 
 

여기서  오일러 피 함수이고,  르장드르 기호이다.    의 인수라는 뜻이다.    소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001615), 계수 2의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000089), 계수 3의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000086), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A001616), 모듈러 곡선의 종수는 (OEIS의 수열 A001617)이다.

N 지표 첨점의 수 계수 2 타원점의 수 계수 3 타원점의 수 종수
1 1 1 1 1 0
2 3 2 1 0 0
3 4 2 0 1 0
4 6 3 0 0 0
5 6 2 2 0 0
6 12 4 0 0 0
7 8 2 0 2 0
8 12 4 0 0 0
9 12 4 0 0 0
10 18 4 2 0 0
11 12 2 0 0 1

참고 문헌편집

  1. Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 228. Springer. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022. doi:10.1007/b138781. 
  2. Silverman, Joseph H. (2009). 《The arithmetic of elliptic curves》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 106 2판. Springer. ISBN 978-0-387-09493-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1194.11005. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. 
  3. Kim, Chang Heon; Ja Kyung Koo (1996년 10월). “On the genus of some modular curves of level N”. 《Bulletin of the Australian Mathematical Society》 (영어) 54 (2): 291–297. doi:10.1017/S0004972700017755. 

외부 링크편집