교환자 부분군

군론에서, 주어진 군의 교환자 부분군(交換子部分群, 영어: commutator subgroup)은 교환자들로 생성되는 부분군이다.

정의

군 $G$의 교환자 부분군 $G^{(1)}$은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다.

$[g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}][g_{3},h_{3}]\dots [g_{n},h_{n}]\in G^{(1)}\subset G$

$g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\in G$

여기서

$[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$

는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규부분군이다.

군 $G$의 n차 유도 부분군(영어: nth derived subgroup) $G^{(n)}$은 다음과 같이 정의된다.

$G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}$

즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규부분군들의 열이 존재한다.

구문 분석 실패 (알 수 없는 함수 "\righttriangle"): {\displaystyle G=G^{(0)}\righttriangle G^{(1)}\righttriangle G^{(2)}\righttriangle\cdots}

참고 문헌

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 3판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.