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군론에서, 교환자(交換子, 영어: commutator)는 두 원소 사이의 교환 법칙의 실패를 측정하는 이항 연산이다.

정의편집

 의 두 원소  교환자는 다음과 같다.

 

(일부 문헌에서는 대신 순서를 바꾸어  로 정의하기도 한다.)

성질편집

임의의 두 원소  에 대하여,  필요 충분 조건 인 것이다. 즉, 임의의 군  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

항등식편집

교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.[1]:4 여기서  켤레 원소  를 나타낸다.

  •  
  •  
  •   and  
  •   and  
  • (홀-비트 항등식 영어: Hall–Witt identity)  
  • (홀-비트 항등식 영어: Hall–Witt identity)  

홀-비트 항등식은 환론의 교환자야코비 항등식과 유사하다.

또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다.

 

만약  교환자 부분군중심에 속한다면 ( ), 다음이 추가로 성립한다.

 

교환자 부분군편집

주어진 군  의 원소들 가운데 어떤 교환자로 표현될 수 있는 것들은 일반적으로 부분군을 이루지 않지만, 교환자 부분군이라 불리는 부분군을 생성한다. 즉, 교환자 부분군은 (유한 개의) 교환자들의 곱으로 표현될 수 있는 원소들로 구성된 부분군이다.

참고 문헌편집

  1. McKay, Susan (2000). 《Finite p-groups》. Queen Mary Maths Notes (영어) 18. University of London. ISBN 978-0-902480-17-9. MR 1802994. 

관련 항목편집

외부 링크편집