교환자
군론에서 교환자(交換子, 영어: commutator)는 두 원소 사이의 교환 법칙의 실패를 측정하는 이항 연산이다.
정의
편집군 의 두 원소 의 교환자는 다음과 같다.
(일부 문헌에서는 대신 순서를 바꾸어 로 정의하기도 한다.)
성질
편집임의의 두 원소 에 대하여, 일 필요 충분 조건은 인 것이다. 즉, 임의의 군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 아벨 군이다.
- 모든 교환자가 1이다.
항등식
편집교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.[1]:4 여기서 는 켤레 원소 를 나타낸다.
홀-비트 항등식은 환론의 교환자의 야코비 항등식과 유사하다.
또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다.
만약 의 교환자 부분군이 중심에 속한다면 ( ), 다음이 추가로 성립한다.
교환자 부분군
편집주어진 군 의 원소들 가운데 어떤 교환자로 표현될 수 있는 것들은 일반적으로 부분군을 이루지 않지만, 교환자 부분군이라 불리는 부분군을 생성한다. 즉, 교환자 부분군은 (유한 개의) 교환자들의 곱으로 표현될 수 있는 원소들로 구성된 부분군이다.
각주
편집- ↑ McKay, Susan (2000). 《Finite p-groups》. Queen Mary Maths Notes (영어) 18. University of London. ISBN 978-0-902480-17-9. MR 1802994.
같이 보기
편집외부 링크
편집- “Commutator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Commutator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Group commutator”. 《nLab》 (영어).
- “Commutator”. 《Groupprops》 (영어).